Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Rtr9V0VjsNHOR1

Ćwiczenie 1

Uzupełnij tekst.

przekątną ściany bocznej a krawędzią boczną, przekątną graniastosłupa a przekątną ściany bocznej, przekątną graniastosłupa a przekątną podstawy, przekątną graniastosłupa a krawędzią podstawy

Kąt nachylenia przekątnej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego do płaszczyzny podstawy to kąt pomiędzy .....................................................................................................................
Kąt nachylenia przekątnej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego do płaszczyzny ściany bocznej to kąt pomiędzy .....................................................................................................................

Ćwiczenie 2

RiKQN5juODw0N

R1Epb4v0PO6oW

RFzjjU182pm421

Ćwiczenie 3

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna jest trzy razy dłuższa od krawędzi podstawy. Cosinus kąta między przekątną ściany tego graniastosłupa a płaszczyzną podstawy wynosi:

$\frac{\sqrt{10}}{10}$
$\frac{3 \sqrt{10}}{10}$
$\frac{1}{3}$
$\frac{1}{10}$

RMFLELbA8Z4XT2

Ćwiczenie 4

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość $3$ , a kąt nachylenia przekątnej do płaszczyzny podstawy jest równy $30 °$ . Suma długości wszystkich krawędzi tego graniastosłupa jest równa:

$24 + 4 \sqrt{6}$
$12 + 4 \sqrt{3}$
$12 + 4 \sqrt{6}$
$24 + 4 \sqrt{3}$

Ćwiczenie 5

Długość krawędzi podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa $12$ . Przekątna tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny ściany bocznej pod kątem, którego cosinus jest równy $\frac{4}{5}$ . Oblicz długość krawędzi bocznej tego graniastosłupa.

R1NFutI4YDCYr

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy długości równej dwanaście. Krawędź boczną oznaczono h, natomiast przekątną graniastosłupa oznaczono d. Podstawę graniastosłupa oznaczono wielkimi literami alfabetu od A do D, oraz górną wielkimi literami od E do H. Odpowiednio nad wierzchołkiem A, znajduje się wierzchołek E, nad wierzchołkiem B wierzchołek F i tak dalej. Zaznaczono kąt alfa między przekątną d a przekątną HC ściany bocznej.

Cosinus kąta w trójkącie prostokątnym jest stosunkiem długości przyprostokątnej przy kącie do długości przeciwprostokątnej. Zatem możemy przyjąć oznaczenia $|C H| = 4 x$ oraz $|C E| = 5 x$ i z tw. Pitagorasa w trójkącie $C H E$ mamy:

$12^{2} + {(4 x)}^{2} = {(5 x)}^{2}$

$144 = 9 x^{2}$

$x = 4$

Przekątna graniastosłupa ma długość $|C E| = 5 \cdot 4 = 20$ , natomiast przekątna ściany bocznej $|C H| = 4 \cdot 4 = 16$ .

Korzystając z tw. Pitagorasa w trójkącie $C G H$ , otrzymujemy:

${|G H|}^{2} + {|G C|}^{2} = {|C H|}^{2}$

$12^{2} + h^{2} = 16^{2}$

$h^{2} = 256 - 144$

$h = \sqrt{112} = 4 \sqrt{7}$

Długość krawędzi bocznej wynosi $4 \sqrt{7}$ .

Ćwiczenie 6

Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny o długości krawędzi bocznej $6$ . Suma pola kwadratu w podstawie oraz pola prostokąta będącego ścianą boczną wynosi $27$ . Czy kąt $α$ nachylenia przekątnej tego graniastosłupa do płaszczyzny podstawy jest większy niż $60 °$ ? Odpowiedź uzasadnij.

Z informacji o sumie pól kwadratu o boku $a$ i prostokąta o wymiarach $6 \times a$ otrzymujemy równanie kwadratowe. Pamiętamy, że $a > 0$ .

$a^{2} + 6 a = 27$

$a^{2} + 6 a - 27 = 0$

$Δ = 6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 27) = 36 + 108 = 144 = 12^{2}$

$a_{1} = \frac{- 6 + 12}{2} = 3$ , $a_{2} = \frac{- 6 - 12}{2} = - 9 < 0$

R11udohwYZIu4

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy długości równej a. Krawędź boczną oznaczono h, natomiast przekątną graniastosłupa oznaczono d. Podstawę graniastosłupa oznaczono wielkimi literami alfabetu od A do D, oraz górną wielkimi literami od E do H. Odpowiednio nad wierzchołkiem A, znajduje się wierzchołek E, nad wierzchołkiem B wierzchołek F i tak dalej. Zaznaczono kąt alfa między przekątną podstawy równą a2, a przekątną EC graniastosłupa oznaczoną d.

Krawędź podstawy ma długość $3$ .

$tg α = \frac{6}{3 \sqrt{2}} = \sqrt{2} < \sqrt{3}$ .

Tangens kąta nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny podstawy jest mniejszy niż $\sqrt{3}$ , zatem kąt jest mniejszy niż $60 °$ .

Ćwiczenie 7

Wyznacz sinus kąta nachylenia prostej $B I$ do płaszczyzny podstawy $A B C D$ w sześcianie, którego rysunek widzisz poniżej, wiedząc, że punkt $I$ jest środkiem krawędzi $H E$ .

RzTj2G4Hr8woi

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prawidłowy czworokątny. Krawędź boczną oznaczono h, natomiast przekątną graniastosłupa oznaczono d. Podstawę graniastosłupa oznaczono wielkimi literami alfabetu od A do D, oraz górną wielkimi literami od E do H. Odpowiednio nad wierzchołkiem A, znajduje się wierzchołek E, nad wierzchołkiem B wierzchołek F i tak dalej. Zaznaczono punkt I stanowiący środek krawędzi HE. Poprowadzono prostą przechodzącą przez punkt I, oraz wierzchołek B.

Rzutem prostokątnym odcinka $B I$ na płaszczyznę podstawy jest odcinek $J B$ . Przez $a$ oznaczmy długość krawędzi sześcianu, a przez $α$ miarę kąta $J B I$ .

RW4cyXbulnC23

Korzystając z tw. Pitagorasa w trójkącie $A B J$ , mamy:

$a^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2} = {|B J|}^{2}$

${|B J|}^{2} = \frac{5}{4} a^{2}$ .

Korzystając z tw. Pitagorasa w trójkącie $B I J$ , otrzymujemy:

${|B J|}^{2} + a^{2} = {|B I|}^{2}$

$\frac{5}{4} a^{2} + a^{2} = {|B I|}^{2}$

${|B I|}^{2} = \frac{9}{4} a^{2}$

$|B I| = \frac{3}{2} a$

$\sin α = \frac{|I J|}{|B J|} = \frac{a}{\frac{3}{2} a} = \frac{2}{3}$

Sinus kąta nachylenia prostej $B I$ do płaszczyzny podstawy $A B C D$ jest równy $\frac{2}{3}$ .

Ćwiczenie 8

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym kąt nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny podstawy ma taką samą miarę jak kąt nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny ściany bocznej. Wyznacz tangens i przybliżoną miarę tego kąta.

R1GnbnPvl1nva

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prawidłowy czworokątny. Podstawę graniastosłupa oznaczono wielkimi literami alfabetu od A do D, oraz górną wielkimi literami od E do H. Odpowiednio nad wierzchołkiem A, znajduje się wierzchołek E, nad wierzchołkiem B wierzchołek F i tak dalej. Przekątna BD podstawy jest równa a2. Przekątną HB graniastosłupa oznaczono d. Różowym kolorem oznaczono kąt alfa między przekątną podstawy a przekątną d graniastosłupa. Niebieskim kolorem oznaczono kąt alfa między przekątną GB ściany bocznej a przekątną HB graniastosłupa.

Korzystając z zależności trygonometrycznych w trójkącie $B G H$ , mamy

$\sin α = \frac{a}{d}$ .

Jednocześnie szukając zależności w trójkącie $B D H$ pomiędzy wielkościami $a$ i $d$ , mamy

$\cos α = \frac{a \sqrt{2}}{d} = \frac{a}{d} \sqrt{2}$ .

Podstawiając z pierwszego równania do drugiego za $\frac{a}{d}$ , otrzymujemy

$\cos α = \sqrt{2} \sin α$ .

Dzieląc stronami przez $\sqrt{2} \cos α$ , otrzymujemy

$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sin α}{\cos α}$ .

Pamiętając o tożsamości trygonometrycznej $tg α = \frac{\sin α}{\cos α}$ , otrzymujemy

$tg α = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0, 7071$ .

Korzystając z tabeli wartości funkcji trygonometrycznych, odczytujemy $α \approx 55^{\circ}$ .

Tangens szukanego kąta przyjmuje wartości $\frac{\sqrt{2}}{2}$ , a miara tego kąta to w przybliżeniu $35 °$ .

Prezentacja multimedialna

Dla nauczyciela