Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R1O9ftwaIWYMI1

Ćwiczenie 1

R1TUlXQIUzZfb1

Ćwiczenie 2

Podstawą ostrosłupa jest romb, w którym kąt ostry ma miarę alfa, większy równy, sześćdziesiąt stopni. Jedna z krawędzi bocznych ostrosłupa wychodząca z wierzchołka przy kącie rozwartym rombu jednocześnie jest jego wysokością i jest dwukrotnie dłuższa od krawędzi podstawy. Połącz w pary wyniki z opisami, wiedząc, że pole rombu wynosi S indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, sinus alfa. wysokość rombu Możliwe odpowiedzi: 1. S, 2. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, S indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, sinus alfa, 3. S sinus alfa, 4. S pierwiastek kwadratowy z sześć, minus, dwa kosinus alfa, 5. S pierwiastek kwadratowy z dwa, razy, nawias, jeden, minus, kosinus alfa, zamknięcie nawiasu długość krawędzi podstawy Możliwe odpowiedzi: 1. S, 2. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, S indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, sinus alfa, 3. S sinus alfa, 4. S pierwiastek kwadratowy z sześć, minus, dwa kosinus alfa, 5. S pierwiastek kwadratowy z dwa, razy, nawias, jeden, minus, kosinus alfa, zamknięcie nawiasu długość najdłuższej krawędzi bocznej ostrosłupa Możliwe odpowiedzi: 1. S, 2. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, S indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, sinus alfa, 3. S sinus alfa, 4. S pierwiastek kwadratowy z sześć, minus, dwa kosinus alfa, 5. S pierwiastek kwadratowy z dwa, razy, nawias, jeden, minus, kosinus alfa, zamknięcie nawiasu długość krótszej przekątnej podstawy Możliwe odpowiedzi: 1. S, 2. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, S indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, sinus alfa, 3. S sinus alfa, 4. S pierwiastek kwadratowy z sześć, minus, dwa kosinus alfa, 5. S pierwiastek kwadratowy z dwa, razy, nawias, jeden, minus, kosinus alfa, zamknięcie nawiasu objętość ostrosłupa Możliwe odpowiedzi: 1. S, 2. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, S indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, sinus alfa, 3. S sinus alfa, 4. S pierwiastek kwadratowy z sześć, minus, dwa kosinus alfa, 5. S pierwiastek kwadratowy z dwa, razy, nawias, jeden, minus, kosinus alfa, zamknięcie nawiasu

Ćwiczenie 3

Na rysunku przedstawiono ostrosłup o podstawie trapezu równoramiennego. Zależności pomiędzy poszczególnymi odcinkami zaznaczono na rysunku poniżej. Objętość ostrosłupa wynosi $250 \sqrt{3}$ . Oblicz, jaką długość ma wysokość tego ostrosłupa.

R1JwJUeybd0ZP

Ilustracja przedstawia ostrosłup, którego podstawą jest trapez równoramienny A B C D. Podstawa A została podpisana 2a, podstawę AC podpisano a, ramię AD podpisano a. w podstawie zaznaczono jej przekątną BD. Wierzchołek ostrosłupa podpisano literą S. Krawędź SD jest pod kątem prostym do krawędzi podstawy i jest podpisana literą a.

R1MoIkB2jPbGo

R15QjW833O28G2

Ćwiczenie 4

RJHCrMIrB08mx2

Ćwiczenie 5

Ćwiczenie 6

Na rysunku przedstawiono ostrosłup o podstawie prostokąta. Pole przekroju ostrosłupa wyznaczonego przez wysokości przeciwległych ścian bocznych i wierzchołek ostrosłupa wynosi $P$ . Ściana boczna nachylona jest do płaszczyzny podstawy pod kątem $α$ a kąt pomiędzy przeciwległymi krawędziami bocznymi ma miarę 120°.

R1CBo9OlNFrJs

Ilustracja przedstawia ostrosłup o podstawie będącej prostokątem A B C D, na której wykreślono przekątne A C oraz B D. Na boku BC znajduje się punkt E, na boku AD znajduje się punkt F. Wierzchołek ostrosłupa podpisano literą S, z wierzchołka tego na podstawę opuszczono wysokość ostrosłupa, spodek tej wysokości znajduje się w miejscu przecięcia się przekątnych podstawy. Punkty EFS wyznaczają trójkąt wewnątrz ostrosłupa. Kąt FES podpisano literą alfa.

RdtNI1wGXtf6M

Ćwiczenie 7

Podstawą ostrosłupa jest trapez równoramienny o kącie ostrym $α$ , w którym ramię i krótsza podstawa mają długość $a$ . Każda krawędź boczna ostrosłupa tworzy z płaszczyzną kąt $β$ . Oblicz objętość ostrosłupa.

Zajmijmy się na początek samą podstawą naszego ostrosłupa:

RXXzzJVedSXYV

Ilustracja przedstawia trapez równoramienny. Górna podstawa oraz ramiona trapezu podpisano literą a. W trapezie narysowano jego wysokość i podpisano ją literą h. Wysokość dzieli trapez na trapez prostokątny oraz trójkąt prostokątny. Fragment dłuższej podstawy należący do trójkąta podpisano literą x. Kąt ostry pomiędzy dłuższą podstawą a ramieniem podpisano literą alfa.

Zatem

$\frac{h}{a} = \sin α$ , czyli $h = a \cdot \sin α$ ,

$\frac{x}{a} = \cos α$ , czyli $x = a \cdot \cos α$ .

Dolna podstawa trapezu ma więc długość $a + 2 a \cdot \cos α$ .

Możemy więc policzyć pole trapezu:

$P_{p} = \frac{a + a + 2 a \cdot \cos α}{2} \cdot a \cdot \sin α = a^{2} \cdot \sin α (1 + \cos α)$ .

Aby obliczyć wysokość ostrosłupa, potrzebujemy długość promienia okręgu opisanego na trapezie.

R16vvv7TXULvN

Ilustracja przedstawia trapez równoramienny A B C D wpisany w okrąg. Górna podstawa D C oraz ramiona trapezu podpisano literą a. W trapezie narysowano jego wysokość i podpisano ją literą h. Wysokość podzieliła dolną podstawę A B na dłuższy odcinek o początku w punkcie A o długości y oraz krótszy odcinek o końcu B i o długości x. Ramiona trapezu nachylone są do dolnej podstawy pod ostrym kątem alfa.

Zauważmy, że promień okręgu opisanego na trapezie pokrywa się z promieniem okręgu opisanym na trójkącie $A B C$ :

$y = a + a \cdot \cos α$ .

Zatem

${|A C|}^{2} = y^{2} + h^{2}$

${|A C|}^{2} = {(a + a \cdot \cos α)}^{2} + {(a \cdot \sin α)}^{2}$

${|A C|}^{2} = 2 a^{2} + 2 a^{2} \cdot \cos α$

$|A C| = a \sqrt{2 + 2 \cos α}$ .

Z twierdzenia sinusów mamy więc równość:

R1QhV260HXDvi

Ilustracja przedstawia ostrosłup, którego podstawą jest trapez równoramienny A B C D. Górny wierzchołek ostrosłupa podpisano literą S. Z tego wierzchołka na podstawę opuszczono wysokość H, jej spodek podpisano literą O. Odcinek O A podpisano literą R, kąt pomiędzy odcinkiem O A i krawędzią boczną A S podpisano literą beta.

$2 R = \frac{|A C|}{\sin α}$

$R = \frac{a \sqrt{2 + 2 \cos α}}{2 \sin α}$

$\frac{H}{R} = tg β$

$H = \frac{a \cdot tg β \sqrt{2 + 2 \cos α}}{2 \sin α}$ .

A więc objętość ostrosłupa wynosi:

$V = \frac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot \sin α (1 + \cos α) \cdot \frac{a \cdot tg β \sqrt{2 + 2 \cos α}}{2 \sin α}$

$V = \frac{\sqrt{2}}{6} \cdot a^{3} \cdot \sqrt{{(1 + \cos α)}^{3}} \cdot tg β$ .

Ćwiczenie 8

Jedna z krawędzi bocznych ostrosłupa, którego podstawą jest prostokąt ma długość $b$ i jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. Najdłuższa krawędź boczna ostrosłupa tworzy z podstawą kąt o mierze $α$ , a z jedną z sąsiednich krawędzi bocznych kąt $β$ . Wyznacz objętość ostrosłupa.

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

RpJBnwZPdVIeK

Ilustracja przedstawia ostrosłup, którego podstawą jest prostokąt A B C D. W podstawie zaznaczono jej przekątną BD. Wierzchołek ostrosłupa podpisano literą S, krawędź DS jest pod kątem prostym do krawędzi podstawy i jest podpisana literą b. Kąt DBS podpisano literą alfa, kąt BSC podpisano literą beta.

Trójkąty $S D C$ , $S D B$ , $D C B$ są prostokątne.

Prosta $D C$ jest rzutem prostokątnym prostej $S C$ na płaszczyznę podstawy. Kat $D C B$ jest prosty, więc na mocy twierdzenia o trzech prostych prostopadłych również kąt $S C B$ jest prosty. Oznacz to, że trójkąt $S C B$ jest prostokątny.

Zatem wykorzystując funkcje trygonometryczne mamy:

$\frac{|B C|}{|S B|} = \sin β$

$|B C| = |S B| \cdot \sin β$ .

Ponadto:

$\frac{b}{|D B|} = tg α$ , co daje, że $|D B| = \frac{b}{tg α}$

$\frac{b}{|S B|} = \sin α$ , czyli $|S B| = \frac{b}{\sin α}$ .

Policzmy więc długości boków prostokąta:

$|B C| = \frac{b}{\sin α} \cdot \sin β = \frac{b \cdot \sin β}{\sin α}$

${|B C|}^{2} + {|D C|}^{2} = {|D B|}^{2}$

${|D C|}^{2} = {(\frac{b}{tg α})}^{2} - {(\frac{b \cdot \sin β}{\sin α})}^{2}$

${|D C|}^{2} = \frac{b^{2} \cdot \cos^{2} α}{\sin^{2} α} - \frac{b^{2} \cdot \sin^{2} β}{\sin^{2} α}$

$|D C| = \frac{b \sqrt{\cos^{2} α - \sin^{2} β}}{\sin α}$ .

Obliczmy pole podstawy i objętość ostrosłupa:

$P_{p} = |B C| \cdot |D C| = \frac{b \cdot \sin β}{\sin α} \cdot \frac{b \sqrt{\cos^{2} α - \sin^{2} β}}{\sin α} = \frac{b^{2} \cdot \sin β \sqrt{\cos^{2} α - \sin^{2} β}}{\sin^{2} α}$

$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{b^{2} \cdot \sin β \sqrt{\cos^{2} α - \sin^{2} β}}{\sin^{2} α} \cdot b = \frac{b^{3} \cdot \sin β \sqrt{\cos^{2} α - \sin^{2} β}}{3 \sin^{2} α}$ .

Animacja 3D

Dla nauczyciela