Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R1HdfYIDlqaJu1

Ćwiczenie 1

Dziedzinę funkcji $f (x) = \sqrt{\frac{10 x^{3} - 15 x^{2} + 8 x - 12}{x^{5} + x^{3} - x^{2} - 1}}$ jest zbiór

$x \in (- \infty; 1) \cup "⟨"\frac{3}{2}; + \infty)$
$x \in (- \infty; 1) \cup (\frac{3}{2}; + \infty)$
$ℝ ∖ "{"1"}"$
$ℝ ∖ "{"- 1; 1"}"$

R19tFqVhb6JPB1

Ćwiczenie 2

Wskaż liczby należące do zbioru rozwiązań nierówności $\frac{x^{3} - 3 x^{2} + 9 x - 27}{x^{5} - x^{3} + x^{2} - 1} > \frac{1}{x^{2} - 1}$

$- 3$
$- 1$
$1$
$0$

RT6EXElR9Kuwv2

Ćwiczenie 3

Suma wszystkich całkowitych rozwiązań nierówności $\frac{x^{3} - 3 x}{9 x^{3} - 4 x^{2} - 27 x + 12} < \frac{5}{9 x - 4}$ wynosi:

$10$
$5$
$15$
$0$

RaB9SZw9ZL3xK2

Ćwiczenie 4

Wybierz poprawne odpowiedzi.

$3$ , $2$ , $1$ , $0$ , $13$ , $7$

Które liczby z podanych poniżej są liczbami pierwszymi spełniającymi nierówność $\frac{x^{3} - 43 x - 42}{x^{3} - 7 x^{2} + 2 x - 14} \geq 1$ ?

Odpowiedź:............;............;.............

R1CIYJixKRe7x2

Ćwiczenie 5

Połącz w pary nierówność wymierną z jej zbiorem rozwiązań.

$\frac{x^{3} - x^{2} - 9 x + 9}{x^{2} - 6 x + 9} \geq 0$
$\frac{x^{2} + 2 x - 3}{x^{3} - 3 x^{2} + x - 3} \leq 0$
$\frac{x^{2} (x + 1) + 6 x (x + 1) + 9 (x + 1)}{(x - 3) {(x - 2)}^{2}} \geq 0$

RFRznJ28vdpnA3

Ćwiczenie 6

Liczba $k$ jest najmniejszą liczbą całkowitą, która spełnia nierówność $\frac{x^{3} - x^{2} - 5 x + 5}{x^{2} - 3 x + 2} \geq \frac{6 (x - 1)}{x}$ .

Zakoduj cyfry: setek, dziesiątek i jedności liczby $123 \cdot k$
............

Ćwiczenie 7

Dana jest funkcja $f (x) = \frac{- 2 x + 4}{x^{3} + x^{2} - 2 x - 8}$ . Rozwiąż nierówność $|f (x) + 1| > \frac{1}{2}$ .

Wyznacz dziedzinę stosując metodę grupowania wyrazów $x^{3} + x^{2} - 2 x - 8 \neq 0$ ,

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) + x (x - 2) \neq 0$ ,

$(x - 2) (x^{2} + 3 x + 4) \neq 0$ ,

$x \neq 2$ , $∆ < 0$

$D = ℝ ∖ \{2\}$ .

Następnie rozwiąż nierówność $|\frac{- 2 x + 4}{x^{3} + x^{2} - 2 x - 8} + 1| > \frac{1}{2}$ .

Rozwiązujemy nierówność przedstawiając licznik i mianownik w postaci iloczynowej

$|\frac{- 2 (x - 2)}{(x - 2) (x^{2} + 3 x + 4)} + 1| > \frac{1}{2}$ .

Skracamy ułamek algebraiczny otrzymując

$|\frac{- 2}{x^{2} + 3 x + 4} + 1| > \frac{1}{2}$ ,

$|\frac{x^{2} + 3 x + 2}{x^{2} + 3 x + 4}| > \frac{1}{2}$ .

Zatem rozwiązujemy dwie nierówności wymierne

$\frac{x^{2} + 3 x + 2}{x^{2} + 3 x + 4} > \frac{1}{2} \lor \frac{x^{2} + 3 x + 2}{x^{2} + 3 x + 4} < - \frac{1}{2}$

Zauważmy, że $x^{2} + 3 x + 4 > 0$ , ponieważ wyróżnik trójmianu kwadratowego jest ujemny, a ramiona paraboli są skierowane ku górze.

Zatem dla każdego $x \in D$ nierówność $x^{2} + 3 x + 4 > 0$ jest spełniona.

Pomnóżmy obie strony nierówności przez dodatnie wyrażenie $2 (x^{2} + 3 x + 4)$ , stąd

$\frac{x^{2} + 3 x + 2}{x^{2} + 3 x + 4} > \frac{1}{2} | \cdot 2 (x^{2} + 3 x + 4) \lor \frac{x^{2} + 3 x + 2}{x^{2} + 3 x + 4} < - \frac{1}{2} | \cdot 2 (x^{2} + 3 x + 4)$

$2 (x^{2} + 3 x + 2) > x^{2} + 3 x + 4 \lor 2 (x^{2} + 3 x + 2) < (- 1) (x^{2} + 3 x + 4)$ ,

$x^{2} + 3 x > 0 \lor 3 x^{2} + 9 x + 8 < 0$ .

$x (x + 3) > 0 \lor 3 x^{2} + 9 x + 8 < 0$ .

Wielomian $S (x) = x (x + 3)$ ma pierwiastki: $(- 3)$ ; $0$ .

Rozwiązaniem nierówności $x (x + 3) > 0$ z uwzględnieniem dziedziny $D = ℝ ∖ \{2\}$ jest zbiór $(- \infty; - 3) \cup (0; 2) \cup (2; + \infty)$ .

R1TUVKtLbvNWX

Ilustracja przedstawia poziomą oś X oraz wykres funkcji przyjmujący wartości dodatnie w przedziale (-∞;-3)∪(0;2)∪(2;∞) oraz wartości ujemne w przedziale (-3;0).

Wielomian $T (x) = 3 x^{2} + 9 x + 8$ nie ma pierwiastków $(∆ < 0)$ .

Rozwiązaniem nierówności $3 x^{2} + 9 x + 8 < 0$ z uwzględnieniem dziedziny $D = ℝ ∖ \{2\}$ jest $\emptyset$ .

RFZDTGsGUhyz3

Ilustracja przedstawia poziomą oś X oraz wykres funkcji znajdujący się całkowicie nad osią X. Punkt dwa nie należy do dziedziny funkcji.

Wyznaczamy sumę rozwiązań

$\{\begin{cases} x \in (- \infty; - 3) \cup (0; 2) \cup (2; + \infty) \\ x \in \emptyset \end{cases}$ .

Rozwiązaniem nierówności jest zbiór $(- \infty; - 3) \cup (0; 2) \cup (2; + \infty)$ .

Ćwiczenie 8

Funkcje $m$ i $n$ określone są wzorami: $m (x) = \frac{x^{3} - 3 x^{2} - x + 3}{x^{3} - 3 x^{2}}$ , $n (x) = |\frac{1}{x}|$ . Wyznacz te argumenty, dla których funkcja $m$ przyjmuje wartości nie większe niż funkcja $n$ .

Rozwiąż nierówność $\frac{x^{3} - 3 x^{2} - x + 3}{x^{3} - 3 x^{2}} \leq |\frac{1}{x}|$ .

Podajmy konieczne założenia: $x^{3} - 3 x^{2} \neq 0$ , $x \neq 0$

$x^{2} (x - 3) \neq 0$ , $x \neq 0$

$x \neq 0$ , $x \neq 3$

$D = ℝ ∖ \{0; 3\}$ .

Skorzystajmy z własności wartości bezwzględnej

$|\frac{a}{b}| = \frac{|a|}{|b|}$ , gdzie $b \neq 0$

i zapiszemy nierówność następująco

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} - x + 3}{x^{3} - 3 x^{2}} \leq \frac{1}{|x|}$ .

Rozwiążmy nierówność dla $x \in (- \infty; 0)$ oraz dla $x \in (0; 3) \cup (3; + \infty)$ .

R1SQFvoLKRhYN

Ilustracja przedstawia tabelę składającą się z dwóch wierszy i sześciu kolumn. W pierwszym wierszu, pierwszej kolumnie znajduje się x. Dalej idąc w prawo, kolumna druga, przedział (-∞;0). Kolumna trzecia, zero. Kolumna czwarta przedział (0;3). Kolumna piąta, trzy. Kolumna szósta, przedział (3;∞). Wiersz drugi, kolumna pierwsza, x Kolumna druga, znak minus. Kolumna trzecia, X. Kolumna czwarta, znak plus. Kolumna piąta, X. Kolumna szóstka, znak plus.

Dla $x \in (- \infty; 0)$ nierówność ma postać

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} - x + 3}{x^{3} - 3 x^{2}} \leq \frac{1}{- x}$ .

Przedstawmy licznik i mianownik ułamka algebraicznego występującego po lewej stronie nierówności w postaci iloczynowej

$\frac{x^{2} (x - 3) - (x - 3)}{x^{2} (x - 3)} \leq \frac{1}{- x}$ ,

$\frac{(x - 3) (x^{2} - 1)}{x^{2} (x - 3)} \leq \frac{1}{- x}$ ,

$\frac{(x - 3) (x - 1) (x + 1)}{x^{2} (x - 3)} \leq \frac{1}{- x}$ .

Skróćmy ułamek

$\frac{(x - 1) (x + 1)}{x^{2}} \leq \frac{1}{- x}$ .

Pomnóżmy obie strony nierówności przez $x^{2}$ .

Stąd

$\frac{(x - 1) (x + 1)}{x^{2}} \leq \frac{1}{- x} | \cdot x^{2}$ , gdzie $x^{2} > 0$

$(x - 1) (x + 1) \leq - x$

$x^{2} + x - 1 \leq 0$

$[x - \frac{1}{2} (- 1 - \sqrt{5})] [x - \frac{1}{2} (- 1 + \sqrt{5})] \leq 0$

Wielomian $W (x) = [x - \frac{1}{2} (- 1 - \sqrt{5})] [x - \frac{1}{2} (- 1 + \sqrt{5})]$ ma dwa pierwiastki: $\frac{1}{2} (- 1 - \sqrt{5})$ , $\frac{1}{2} (- 1 + \sqrt{5})$ .

RVUrK0vg9luQl

Ilustracja przedstawia poziomą oś X oraz wykres funkcji będący parabolą. Parabola ta ma ramiona skierowane ku górze oraz miejsca zerowe w punktach 12-1-5 oraz 12-1+5. Wierzchołek paraboli znajduje się pod osią x. Do wykresu funkcji nie należą dwa punkty, punkt zero oraz punkt trzy.

Uwzględniając przedział $(- \infty; 0)$ rozwiązaniem nierówności $\frac{x^{3} - 3 x^{2} - x + 3}{x^{3} - 3 x^{2}} \leq \frac{1}{- x}$ jest przedział $x \in ⟨- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}; 0)$ .

Dla $x \in (0; 3) \cup (3; + \infty)$ nierówność ma postać

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} - x + 3}{x^{3} - 3 x^{2}} \leq \frac{1}{x}$ .

Postępując analogicznie jak powyżej, otrzymujemy

$\frac{x^{2} (x - 3) - (x - 3)}{x^{2} (x - 3)} \leq \frac{1}{x}$ ,

$\frac{(x - 3) (x^{2} - 1)}{x^{2} (x - 3)} \leq \frac{1}{x}$ ,

$\frac{(x - 3) (x - 1) (x + 1)}{x^{2} (x - 3)} \leq \frac{1}{x}$ ,

$\frac{(x - 1) (x + 1)}{x^{2}} \leq \frac{1}{x}$ ,

$\frac{(x - 1) (x + 1)}{x^{2}} \leq \frac{1}{x} | \cdot x^{2}$ ,

$(x - 1) (x + 1) \leq x$ ,

$x^{2} - x - 1 \leq 0$ ,

$[x - \frac{1}{2} (1 - \sqrt{5})] [x - \frac{1}{2} (1 + \sqrt{5})] \leq 0$ .

Wielomian $R (x) = [x - \frac{1}{2} (1 - \sqrt{5})] [x - \frac{1}{2} (1 + \sqrt{5})]$ ma dwa pierwiastki: $\frac{1}{2} (1 - \sqrt{5})$ , $\frac{1}{2} (1 + \sqrt{5})$ .

RZYkyvMdC7kq4

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus trzech do trzech oraz wykres funkcji będący parabolą. Parabola ta ma ramiona skierowane ku górze oraz miejsca zerowe w punktach 12-1-5 oraz 12-1+5. Wierzchołek paraboli znajduje się pod osią x. Do wykresu funkcji nie należą dwa punkty, punkt zero oraz punkt trzy.

Uwzględniając zbiór $(0; 3) \cup (3; + \infty)$ rozwiązaniem nierówności jest przedział $(0; \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}⟩$ .

Po zsumowaniu rozwiązań otrzymanych w obu przypadkach, formułujemy odpowiedź.

Odpowiedź: Funkcja $m$ przyjmuje wartości nie większe niż funkcja $n$ dla argumentów nalężących do zbioru $⟨- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}; 0) \cup (0; \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}⟩$ .

Galeria zdjęć interaktywnych

Dla nauczyciela