Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Wykaż, że iloczyn trzech kolejnych liczb podzielnych przez $3$ dzieli się przez $81$ .

Zauważmy, że trzy kolejne liczby podzielne przez $3$ możemy zapisać w postaci:

$3 n$ , $3 n + 3$ , $3 n + 6$

gdzie:
$n$ – jest liczbą całkowitą.

Rozważmy ich iloczyn $3 n (3 n + 3) (3 n + 6)$ .

Z każdego z nawiasów możemy wyłączyć liczbę $3$ otrzymując:

$3 n \cdot 3 \cdot (n + 1) \cdot 3 \cdot (n + 2) = 27 n (n + 1) (n + 2)$

Ponieważ liczby $n$ , $n + 1$ , $n + 2$ to trzy kolejne liczby całkowite, więc dokładnie jedna z nich dzieli się przez $3$ .

Iloczyn liczby podzielnej przez $3$ i liczby $27$ jest podzielny przez $81$ .

Ćwiczenie 2

Wykaż, że jeżeli $n$ jest liczbą nieparzystą to liczba $(n - 1) (n + 1) (n + 3)$ jest liczbą podzielną przez $48$ .

Ponieważ $n$ jest liczbą nieparzystą, więc jest postaci:

$n = 2 k + 1$

gdzie:
$k$ – jest liczbą całkowitą.

Zatem:

$(n - 1) (n + 1) (n + 3) = (2 k + 1 - 1) (2 k + 1 + 1) (2 k + 1 + 3) =$

$= 2 k (2 k + 2) (2 k + 4) = 2 k \cdot 2 \cdot (k + 1) \cdot 2 \cdot (k + 2) = 8 k (k + 1) (k + 2)$

Poniewaz liczby $k$ , $k + 1$ , $k + 2$ to trzy kolejne liczby całkowite, więc dokładnie jedna z nich dzieli się przez $3$ i przynajmniej jedna dzieli się przez $2$ , co oznacza, że ich iloczyn dzieli się przez $6$ .

Iloczyn liczby podzielnej przez $6$ i liczby $8$ jest podzielny przez $48$ .

Ćwiczenie 3

Wykaż, że liczba $2^{13} + 2^{15} + 2^{17}$ jest podzielna przez $21$ .

Wyrażenie $2^{13} + 2^{15} + 2^{17}$ możemy przekształcić następująco

$2^{13} + 2^{15} + 2^{17} = 2^{13} + 2^{13 + 2} + 2^{13 + 4} = 2^{13} + 2^{13} \cdot 2^{2} + 2^{13} \cdot 2^{4} =$

$= 2^{13} \cdot (1 + 2^{2} + 2^{4}) = 2^{13} \cdot (1 + 4 + 16) = 2^{13} \cdot 21$

Ponieważ $2^{13}$ jest liczbą naturalną, więc $2^{13} \cdot 21$ jest liczbą podzielną przez $21$ .

R1SBFcjkd1tIw2

Ćwiczenie 4

Ćwiczenie 5

Udowodnij, że liczba $16!$ jest podzielna przez $2^{15}$ .

Liczba $16!$ to iloczyn kolejnych liczb naturalnych od $1$ do $16$ .

Występują w nim następujące liczby parzyste:

$2$ , $4 = 2^{2}$ , $6 = 2 \cdot 3$ , $8 = 2^{3}$ , $10 = 2 \cdot 5$ , $12 = 2^{2} \cdot 3$ , $14 = 2 \cdot 7$ , $16 = 2^{4}$

Po wymnożeniu tych liczb otrzymamy liczbę $2$ w potędze o wykładniku $15$ , czyli $2^{15}$ pomnożoną przez liczby nieparzyste.

Oznacza to nie tylko, że liczba $16!$ dzieli się przez $2^{15}$ , ale również, że $2^{15}$ jest maksymalną potęgą dwójki będącą dzielnikiem $16!$ .

RT7NZ08GWF5Bf2

Ćwiczenie 6

Wskaż wszystkie poprawne odpowiedzi. Iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych dzieli się przez:

2

3

3!

Prawdą jest, że:
Jeśli liczba dzieli się przez

2

6

, to dzieli się przez

12

. Jeśli liczba dzieli się przez

12

, to dzieli się przez

3

i przez

4

. Jeśli liczba dzieli się przez

4

3

, to dzieli się przez

12

.

Iloczyn czterech kolejnych liczb całkowitych dzieli się przez:

3

8

4!

Dla liczb pierwszych

p

q

prawdą jest, że:
Jeśli liczba dzieli się przez

p

q

, to dzieli się przez

p q

. Jeśli liczba dzieli się przez

p q

, to dzieli się przez

p

i przez

q

N W D (p, q) = 1

Liczba

29!

jest podzielna przez:

100000

1000000

10000000

Rj1jUn6YeYUVb2

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

Wykaż, że równanie $6 x^{2} + 14 = 21 y^{2}$ nie ma rozwiązań całkowitych.

Przekształćmy równanie do postaci $14 = 21 y^{2} - 6 x^{2}$ , co jest równoważne $14 = 3 \cdot (7 y^{2} - 2 x^{2})$ .

Zauważmy, że jeśli liczby $x$ i $y$ są całkowite, to ich kwadraty również są liczbami całkowitymi.

Ponieważ iloczyn i różnica liczb całkowitych są liczbami całkowitymi, więc po prawej stronie równości znajduje się liczba całkowita podzielna przez $3$ .

Liczba $14$ nie dzieli się przez $3$ , zatem równanie jest sprzeczne.

R1ayxPJnh9Wvu31

Ćwiczenie 9

Wykaż, że liczba

(1 + 2013^{2}) (1 + 2013^{4})

jest dzielnikiem liczby

1 + 2013 + 2013^{2} + 2013^{3} + 2013^{4} + 2013^{5} + 2013^{6} + 2013^{7}

.
Uporządkuj poniższe wypowiedzi, aby otrzymać dowód powyższego twierdzenia. Elementy do uszeregowania: 1. W drugim nawiasie również możemy połączyć składniki w pary:

(1 + 2013^{2}) \cdot [(1 + 2013) + (2013^{4} + 2013^{5})]

., 2. Połączmy składniki w pary:

(1 + 2013^{2}) + (2013 + 2013^{3}) + (2013^{4} + 2013^{6}) + (2013^{5} + 2013^{7})

., 3. Dwa ostatnie składniki mają wspólny czynnik w postaci

2013^{4}

, który możemy wyłączyć przed nawias otrzymując

(1 + 2013^{2}) \cdot [(1 + 2013) + 2013^{4} \cdot (1 + 2013)]

., 4. Z drugiej, trzeciej i czwartej pary możemy wyłączyć wspólne czynniki przez nawias:

(1 + 2013^{2}) + 2013 \cdot (1 + 2013^{2}) + 2013^{4} \cdot (1 + 2013^{2}) + 2013^{5} \cdot (1 + 2013^{2})

., 5. Jeszcze raz możemy wyłączyć przed nawias wspólny czynnik

(1 + 2013^{2}) (1 + 2013) (1 + 2013^{4})

., 6. Powyższe wyrażenie przekształca się do postaci

2014 \cdot (1 + 2013^{2}) (1 + 2013^{4})

., 7. Przekształcimy wyrażenie:

1 + 2013 + 2013^{2} + 2013^{3} + 2013^{4} + 2013^{5} + 2013^{6} + 2013^{7}

., 8. Zaczniemy od zamiany kolejności składników w rozważanej sumie:

1 + 2013^{2} + 2013 + 2013^{3} + 2013^{4} + 2013^{6} + 2013^{5} + 2013^{7}

., 9. Ponieważ każdy z czynników powyższego iloczynu jest liczbą naturalną, więc rozważana liczba jest podzielna przez

(1 + 2013^{2}) (1 + 2013^{4})

., 10. Ponownie możemy wyłączyć przed nawias wspólny czynnik:

(1 + 2013^{2}) (1 + 2013 + 2013^{4} + 2013^{5})

Ćwiczenie 10

Udowodnij, że liczba $(n^{2} - 4) (n^{3} - n)$ jest podzielne przez $5$ dla dowolnej liczby całkowitej $n$ .

Skorzystaj ze wzoru: $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .

Wyłączmy $n$ przed drugi nawias $(n^{2} - 4) (n^{3} - n) = (n^{2} - 4) \cdot n \cdot (n^{2} - 1)$ .

Korzystając ze wzoru $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ możemy każdy z nawiasów przedstawić jako iloczyn:

$(n - 2) (n + 2) \cdot n \cdot (n - 1) (n + 1) = (n - 2) (n - 1) \cdot n \cdot (n + 1) (n + 2)$

Zauważmy, ze liczby $n - 2$ , $n - 1$ , $n$ , $n + 1$ , $n + 2$ to pięć kolejnych liczb całkowitych, więc dokładnie jedna z nich dzieli się przez przez $5$ .

Iloczyn liczby podzielnej przez $5$ i liczby całkowitej jest podzielny przez $5$ .

Animacja

Dla nauczyciela