Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Wykaż, że iloczyn trzech kolejnych liczb podzielnych przez $3$ dzieli się przez $81$ .

Zauważmy, że trzy kolejne liczby podzielne przez $3$ możemy zapisać w postaci:

$3 n$ , $3 n + 3$ , $3 n + 6$

gdzie:
$n$ – jest liczbą całkowitą.

Rozważmy ich iloczyn $3 n (3 n + 3) (3 n + 6)$ .

Z każdego z nawiasów możemy wyłączyć liczbę $3$ otrzymując:

$3 n \cdot 3 \cdot (n + 1) \cdot 3 \cdot (n + 2) = 27 n (n + 1) (n + 2)$

Ponieważ liczby $n$ , $n + 1$ , $n + 2$ to trzy kolejne liczby całkowite, więc dokładnie jedna z nich dzieli się przez $3$ .

Iloczyn liczby podzielnej przez $3$ i liczby $27$ jest podzielny przez $81$ .

Ćwiczenie 2

Wykaż, że jeżeli $n$ jest liczbą nieparzystą to liczba $(n - 1) (n + 1) (n + 3)$ jest liczbą podzielną przez $48$ .

Ponieważ $n$ jest liczbą nieparzystą, więc jest postaci:

$n = 2 k + 1$

gdzie:
$k$ – jest liczbą całkowitą.

Zatem:

$(n - 1) (n + 1) (n + 3) = (2 k + 1 - 1) (2 k + 1 + 1) (2 k + 1 + 3) =$

$= 2 k (2 k + 2) (2 k + 4) = 2 k \cdot 2 \cdot (k + 1) \cdot 2 \cdot (k + 2) = 8 k (k + 1) (k + 2)$

Poniewaz liczby $k$ , $k + 1$ , $k + 2$ to trzy kolejne liczby całkowite, więc dokładnie jedna z nich dzieli się przez $3$ i przynajmniej jedna dzieli się przez $2$ , co oznacza, że ich iloczyn dzieli się przez $6$ .

Iloczyn liczby podzielnej przez $6$ i liczby $8$ jest podzielny przez $48$ .

Ćwiczenie 3

Wykaż, że liczba $2^{13} + 2^{15} + 2^{17}$ jest podzielna przez $21$ .

Wyrażenie $2^{13} + 2^{15} + 2^{17}$ możemy przekształcić następująco

$2^{13} + 2^{15} + 2^{17} = 2^{13} + 2^{13 + 2} + 2^{13 + 4} = 2^{13} + 2^{13} \cdot 2^{2} + 2^{13} \cdot 2^{4} =$

$= 2^{13} \cdot (1 + 2^{2} + 2^{4}) = 2^{13} \cdot (1 + 4 + 16) = 2^{13} \cdot 21$

Ponieważ $2^{13}$ jest liczbą naturalną, więc $2^{13} \cdot 21$ jest liczbą podzielną przez $21$ .

R1SBFcjkd1tIw2

Ćwiczenie 4

Ćwiczenie 5

Udowodnij, że liczba $16!$ jest podzielna przez $2^{15}$ .

Liczba $16!$ to iloczyn kolejnych liczb naturalnych od $1$ do $16$ .

Występują w nim następujące liczby parzyste:

$2$ , $4 = 2^{2}$ , $6 = 2 \cdot 3$ , $8 = 2^{3}$ , $10 = 2 \cdot 5$ , $12 = 2^{2} \cdot 3$ , $14 = 2 \cdot 7$ , $16 = 2^{4}$

Po wymnożeniu tych liczb otrzymamy liczbę $2$ w potędze o wykładniku $15$ , czyli $2^{15}$ pomnożoną przez liczby nieparzyste.

Oznacza to nie tylko, że liczba $16!$ dzieli się przez $2^{15}$ , ale również, że $2^{15}$ jest maksymalną potęgą dwójki będącą dzielnikiem $16!$ .

RT7NZ08GWF5Bf2

Ćwiczenie 6

Rj1jUn6YeYUVb2

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

Wykaż, że równanie $6 x^{2} + 14 = 21 y^{2}$ nie ma rozwiązań całkowitych.

Przekształćmy równanie do postaci $14 = 21 y^{2} - 6 x^{2}$ , co jest równoważne $14 = 3 \cdot (7 y^{2} - 2 x^{2})$ .

Zauważmy, że jeśli liczby $x$ i $y$ są całkowite, to ich kwadraty również są liczbami całkowitymi.

Ponieważ iloczyn i różnica liczb całkowitych są liczbami całkowitymi, więc po prawej stronie równości znajduje się liczba całkowita podzielna przez $3$ .

Liczba $14$ nie dzieli się przez $3$ , zatem równanie jest sprzeczne.

R1ayxPJnh9Wvu31

Ćwiczenie 9

Wykaż, że liczba nawias, jeden, plus, dwa tysiące trzynaście indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, nawias, jeden, plus, dwa tysiące trzynaście indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu jest dzielnikiem liczby jeden, plus, dwa tysiące trzynaście, plus, dwa tysiące trzynaście indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa tysiące trzynaście indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwa tysiące trzynaście indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, dwa tysiące trzynaście indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, dwa tysiące trzynaście indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, plus, dwa tysiące trzynaście indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego.
Uporządkuj poniższe wypowiedzi, aby otrzymać dowód powyższego twierdzenia. Elementy do uszeregowania: 1. W drugim nawiasie również możemy połączyć składniki w pary:
nawias, jeden, plus, dwa tysiące trzynaście indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, razy, nawias kwadratowy, nawias, jeden, plus, dwa tysiące trzynaście, zamknięcie nawiasu, plus, nawias, dwa tysiące trzynaście indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, dwa tysiące trzynaście indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu kwadratowego., 2. Połączmy składniki w pary:
nawias, jeden, plus, dwa tysiące trzynaście indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, plus, nawias, dwa tysiące trzynaście, plus, dwa tysiące trzynaście indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, plus, nawias, dwa tysiące trzynaście indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, dwa tysiące trzynaście indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, plus, nawias, dwa tysiące trzynaście indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, dwa tysiące trzynaście indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu., 3. Dwa ostatnie składniki mają wspólny czynnik w postaci dwa tysiące trzynaście indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, który możemy wyłączyć przed nawias otrzymując
nawias, jeden, plus, dwa tysiące trzynaście indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, razy, nawias kwadratowy, nawias, jeden, plus, dwa tysiące trzynaście, zamknięcie nawiasu, plus, dwa tysiące trzynaście indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, razy, nawias, jeden, plus, dwa tysiące trzynaście, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu kwadratowego., 4. Z drugiej, trzeciej i czwartej pary możemy wyłączyć wspólne czynniki przez nawias:
nawias, jeden, plus, dwa tysiące trzynaście indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, plus, dwa tysiące trzynaście, razy, nawias, jeden, plus, dwa tysiące trzynaście indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, plus, dwa tysiące trzynaście indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, razy, nawias, jeden, plus, dwa tysiące trzynaście indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, plus, dwa tysiące trzynaście indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, razy, nawias, jeden, plus, dwa tysiące trzynaście indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu., 5. Jeszcze raz możemy wyłączyć przed nawias wspólny czynnik
nawias, jeden, plus, dwa tysiące trzynaście indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, nawias, jeden, plus, dwa tysiące trzynaście, zamknięcie nawiasu, nawias, jeden, plus, dwa tysiące trzynaście indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu., 6. Powyższe wyrażenie przekształca się do postaci
dwa tysiące czternaście, razy, nawias, jeden, plus, dwa tysiące trzynaście indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, nawias, jeden, plus, dwa tysiące trzynaście indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu., 7. Przekształcimy wyrażenie: jeden, plus, dwa tysiące trzynaście, plus, dwa tysiące trzynaście indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa tysiące trzynaście indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwa tysiące trzynaście indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, dwa tysiące trzynaście indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, dwa tysiące trzynaście indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, plus, dwa tysiące trzynaście indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego., 8. Zaczniemy od zamiany kolejności składników w rozważanej sumie:
jeden, plus, dwa tysiące trzynaście indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa tysiące trzynaście, plus, dwa tysiące trzynaście indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwa tysiące trzynaście indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, dwa tysiące trzynaście indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, plus, dwa tysiące trzynaście indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, dwa tysiące trzynaście indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego., 9. Ponieważ każdy z czynników powyższego iloczynu jest liczbą naturalną, więc rozważana liczba jest podzielna przez nawias, jeden, plus, dwa tysiące trzynaście indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, nawias, jeden, plus, dwa tysiące trzynaście indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu., 10. Ponownie możemy wyłączyć przed nawias wspólny czynnik:
nawias, jeden, plus, dwa tysiące trzynaście indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, nawias, jeden, plus, dwa tysiące trzynaście, plus, dwa tysiące trzynaście indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, dwa tysiące trzynaście indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu.

Ćwiczenie 10

Udowodnij, że liczba $(n^{2} - 4) (n^{3} - n)$ jest podzielne przez $5$ dla dowolnej liczby całkowitej $n$ .

Skorzystaj ze wzoru: $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .

Wyłączmy $n$ przed drugi nawias $(n^{2} - 4) (n^{3} - n) = (n^{2} - 4) \cdot n \cdot (n^{2} - 1)$ .

Korzystając ze wzoru $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ możemy każdy z nawiasów przedstawić jako iloczyn:

$(n - 2) (n + 2) \cdot n \cdot (n - 1) (n + 1) = (n - 2) (n - 1) \cdot n \cdot (n + 1) (n + 2)$

Zauważmy, ze liczby $n - 2$ , $n - 1$ , $n$ , $n + 1$ , $n + 2$ to pięć kolejnych liczb całkowitych, więc dokładnie jedna z nich dzieli się przez przez $5$ .

Iloczyn liczby podzielnej przez $5$ i liczby całkowitej jest podzielny przez $5$ .

Animacja

Dla nauczyciela