Sprawdź się - Zintegrowana Platforma Edukacyjna

1

Pokaż ćwiczenia:

1

Ćwiczenie 1

R1QxhsCCEQQHo

„Udowodnimy”, że $2 + 2 = 5$ . Przeanalizuj poniższy dowód i znajdź błąd. Przeciągnij właściwe oznaczenia do tabeli.

Możemy zapisać oczywistą równość: $0 = 0$ ., Wyraźmy zera po obu stronach równości jako wynik dwóch różnych odejmowań: $20 - 20 = 25 - 25$ ., Wyraźmy liczby $20$ i $25$ w postaci iloczynów: $4 \cdot 5 - 4 \cdot 5 = 5 \cdot 5 - 5 \cdot 5$ ., Doprowadzamy obie strony do postaci iloczynowej: $4 \cdot (5 - 5) = 5 \cdot (5 - 5)$ ., I upraszczając obustronnie otrzymujemy: $4 = 5$ , czyli $2 + 2 = 5$ , c.n.d.

Dowód	Gdzie tkwi błąd?
Możemy zapisać oczywistą równość: $0 = 0$ .
Wyraźmy zera po obu stronach równości jako wynik dwóch różnych odejmowań: $20 - 20 = 25 - 25$ .
Wyraźmy liczby $20$ i $25$ w postaci iloczynów: $4 \cdot 5 - 4 \cdot 5 = 5 \cdot 5 - 5 \cdot 5$ .
Doprowadzamy obie strony do postaci iloczynowej: $4 \cdot (5 - 5) = 5 \cdot (5 - 5)$ .
I upraszczając obustronnie otrzymujemy: $4 = 5$ , czyli $2 + 2 = 5$ , c.n.d.

Gdzie tkwi błąd?

„Uprościliśmy” nasze wyrażenie dzieląc je obustronnie przez $5 - 5$ , czyli przez $0$ , a tego robić nie wolno.

1

Ćwiczenie 2

R1dvYMZA5znjc

Łączenie par. Przeanalizuj „dowód” równości:

1 + 1 = 0

przedstawiony krok po kroku w wierszach poniższej tabeli. Czy ta równość jest prawdziwa? Jeśli nie, to znajdź błąd w dowodzie, wskaż które zdania są prawdziwe, a które fałszywe..

1 + 1 = 2

. Możliwe odpowiedzi: Zdanie prawdziwe, Zdanie fałszywe.

1 + 1 - 1 = 2 - 1

. Możliwe odpowiedzi: Zdanie prawdziwe, Zdanie fałszywe.

1 + 1 - 1 = \sqrt{{(2 - 1)}^{2}}

. Możliwe odpowiedzi: Zdanie prawdziwe, Zdanie fałszywe.

1 + 1 - 1 = \sqrt{4 - 4 + 1}

. Możliwe odpowiedzi: Zdanie prawdziwe, Zdanie fałszywe.

1 + 1 - 1 = \sqrt{1}

. Możliwe odpowiedzi: Zdanie prawdziwe, Zdanie fałszywe.

1 + 1 - 1 = \sqrt{{(- 1)}^{2}}

. Możliwe odpowiedzi: Zdanie prawdziwe, Zdanie fałszywe.

1 + 1 - 1 = - 1

. Możliwe odpowiedzi: Zdanie prawdziwe, Zdanie fałszywe.

1 + 1 = 0

. Możliwe odpowiedzi: Zdanie prawdziwe, Zdanie fałszywe

Przeanalizuj „dowód” równości: $1 + 1 = 0$ przedstawiony krok po kroku w wierszach poniższej tabeli. Czy ta równość jest prawdziwa? Jeśli nie, to znajdź błąd w dowodzie, wskaż które zdania są prawdziwe, a które fałszywe.

Dowód	Zdanie prawdziwe	Zdanie fałszywe
$1 + 1 = 2$	□	□
$1 + 1 - 1 = 2 - 1$	□	□
$1 + 1 - 1 = \sqrt{{(2 - 1)}^{2}}$	□	□
$1 + 1 - 1 = \sqrt{4 - 4 + 1}$	□	□
$1 + 1 - 1 = \sqrt{1}$	□	□
$1 + 1 - 1 = \sqrt{{(- 1)}^{2}}$	□	□
$1 + 1 - 1 = - 1$	□	□
$1 + 1 = 0$	□	□

Równość jest fałszywa. Błąd jest w pierwiastkowaniu: pierwiastek (tzw. arytmetyczny) drugiego stopnia z jedności jest równy $1$ , chociaż liczba podpierwiastkowa może być wynikiem podnoszenia do kwadratu liczby ujemnej. Istnieją natomiast dwa pierwiastki tzw. algebraiczne z jedności: są to liczby $1$ i $(- 1)$ jako rozwiązanie równania $x^{2} = 1$ . Wynik pierwiastkowania został tak przyjęty, aby było wygodnie „udowodnić” tezę.

R1eaP4EQNZMoE1

Ćwiczenie 3

1

Ćwiczenie 4

Ktoś jednak wytrwale dąży do tego, aby udowodnić, że $1 + 1 = 0$ , tym razem inną metodą. Uzupełnij poniższy „dowód”, wstawiając w puste miejsca właściwe wyrażenia metodą „przeciągnij i upuść”. Czy jest w nim błąd? Jeśli tak, to gdzie?

RqidueC7Ge5JX

$x = - 1$ , $x^{2} + 1^{2} = 0$ , $x - 1$ , $x + 1$ , $x^{2} - 1^{2} = 0$ , $x = 1$

„Dowód”:
Niech $x = 1$
Stąd $x^{2} = 1^{2}$

Przekształcamy tę równość i otrzymujemy: , co jest równoważne: $(x + 1) (x - 1) = 0$ .
Dzielimy tę równość obustronnie przez i otrzymujemy: $x + 1 = 0$ .
Założyliśmy, że , więc mamy: $1 + 1 = 0$ .
c.n.d.

Błąd tkwi w dzieleniu przez $0$ ; dzieląc obustronnie równość przez $x - 1$ zapomnieliśmy o założeniu i w rzeczywistości dzieliliśmy przez $0$ .

2

Ćwiczenie 5

Poniżej przedstawiony jest „dowód”, że $2 = 1$ , ale popełniony został tutaj błąd. Przeanalizuj rozumowanie i wskaż błąd.

„Dowód”:

Naszym punktem wyjścia jest prawdziwa równość: $- 2 = - 2$ .

Liczbę $(- 2)$ możemy wyrazić na wiele różnych sposobów, np. tak: $4 - 6 = 1 - 3$ .

Dokonujemy przekształceń równoważnych: $4 - 6 + \frac{9}{4} = 1 - 3 + \frac{9}{4}$ ;

${(2 - \frac{3}{2})}^{2} = {(1 - \frac{3}{2})}^{2}$ ;

$2 - \frac{3}{2} = 1 - \frac{3}{2}$ ;

$2 = 1$

c.n.d.

Gdzie popełniono błąd?

Błąd popełniono przy obustronnym pierwiastkowaniu wyrażenia

${(2 - \frac{3}{2})}^{2} = {(1 - \frac{3}{2})}^{2}$ .

2

Ćwiczenie 6

Każde dwie liczby rzeczywiste są równe. Prawda? Nieprawda. Niemniej jednak poniższy „dowód” pokazuje, że tak jest. Gdzie jest błąd?

„Dowód”:

Weźmy dwie liczby $a$ i $b$ takie, że $a > b$ .

Zatem istnieje taka liczba $c > 0$ , że $a = b + c$ . Przekształcamy tę równość:

$a = b + c | \cdot (a - b)$

$a (a - b) = (b + c) (a - b)$

$a a - a b = a b + a c - b b - b c$

$a a - a b - a c = a b - b b - b c$

$a (a - b - c) = b (a - b - c) | : (a - b - c)$

$a = b$

c.n.d.

Nie wolno podzielić przez $(a - b - c)$ , ponieważ wartość tego wyrażenia jest zerem.

2

Ćwiczenie 7

Matematycy mówią, że $\frac{0}{0}$ to symbol nieokreślony, ale ktoś z uporem twierdzi, że $\frac{0}{0} = 2$ i usiłuje to udowodnić.

Czy w poniższym dowodzie jest błąd? Jeśli tak, to gdzie?

„Dowód”:

$\frac{0}{0} = \frac{100 - 100}{100 - 100} = \frac{10^{2} - 10^{2}}{10 \cdot 10 - 10 \cdot 10} = \frac{(10 + 10) \cdot (10 - 10)}{10 \cdot (10 - 10)} = \frac{20}{10} = 2$

c.n.d.

Oczywiście nie można upraszczać przez $0$ , $(10 - 10) = 0$ .

3

Ćwiczenie 8

Czy złotówka może być równa groszowi? Oczywiście nie! Jednak ktoś „udowodnił”, że tak jest, a naszym zadaniem jest znaleźć błąd w jego rozumowaniu.

„Dowód”, że $1 zł = 1 gr$ :

$1 zł = 100 gr = 10 gr \cdot 10 gr = 0, 1 zł \cdot 0, 1 zł = 0, 01 zł = 1 gr$

c.n.d.

Gdzie jest błąd?

Oczywiście błąd tkwi w działaniach na jednostkach. Powinniśmy zapisać:

$1 zł = 100 gr = (10 \cdot 10) gr = (10 \cdot 10) \cdot 0, 01 zł$ i wtedy po prawej stronie otrzymalibyśmy $1 zł$ .

Kiedy możemy popełnić taki błąd? Gdy nie umiemy dobrze wykonywać działań na jednostkach, gdy nie niepokoi nas wyrażenie „ $gr \cdot gr$ ” lub „ $zł \cdot zł$ ” i spokojnie zastępujemy je zapisem „ $gr$ ” lub „ $zł$ ”.

3

Ćwiczenie 9

Teraz „udowodnimy”, że liczba dodatnia może być równa liczbie ujemnej. Niesamowite! Ustaw poniższe wyrażenia w odpowiedniej kolejności, aby otrzymać „dowód” tego zdumiewającego faktu, a potem wskaż błąd (jeśli istnieje).

R17qZCRhcNqXt

$\sqrt{1} = \sqrt{(- 1) \cdot (- 1)}$
$1 = - 1$
$\sqrt{{(- 1)}^{2}} = - 1$
„Dowód”, że $1 = - 1$ .
$1 = \sqrt{1}$
$\sqrt{(- 1) \cdot (- 1)} = \sqrt{{(- 1)}^{2}}$

Błąd tkwi w swobodnym traktowaniu znaku pierwiastka kwadratowego $\sqrt{{(- 1)}^{2}} = - 1$ .