Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

ReZvoWEigbT0s

R137AENMDkS7l

Rq2AUQB9q2Pp91

Ćwiczenie 2

Łączenie par. Określ czy podane stwierdzenie jest prawdziwe czy fałszywe.. Siatka graniastosłupa prawidłowego czworokątnego składająca się z

6

dowolnych kwadratów ma pole powierzchni całkowitej równe

6 a^{2}

.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Siatka graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma pole równe

128 {cm}^{2}

. Wówczas pole powierzchni bocznej wynosi

96 {cm}^{2}

, jeżeli krawędź podstawy ma

4 cm

.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Siatka graniastosłupa prawidłowego czworokątnego może składać się z

4

przystających dowolnych czworokątów oraz

2

przystających kwadratów będących jego podstawami.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Przekątna ściany bocznej w graniastosłupie prawidłowym czworokątnym, której jeden bok jest dwa razy dłuższy od drugiego ma

4 cm

. Zatem pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa wynosi

152 {cm}^{2}

.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz

R15Dt08pv0Kyr2

Ćwiczenie 3

Dostępne opcje do wyboru: boków, płaszczyźnie, ścian, dwóch podstaw, dwóch ścian bocznych, Pole powierzchni bocznej, przystających kwadratów, płaszczyźnie, Siatka, Pole powierzchni podstaw, Siatka,

4

przystających trójkątów, trzech przystających prostokątów, sześcianu, przystającymi kwadratami, krawędzi, prostopadłościanu, czterech przystających prostokątów. Polecenie: Uzupełnij podany tekst przeciągając w odpowiednie miejsca właściwy wyraz. luka do uzupełnienia graniastosłupa prawidłowego czworokątnego to przedstawienie graniastosłupa na luka do uzupełnienia , powstające poprzez "rozcięcie" niektórych jego luka do uzupełnienia tak, aby dało się rozłożyć ściany na luka do uzupełnienia . luka do uzupełnienia graniastosłupa prawidłowego czworokątnego składa się z luka do uzupełnienia , które są luka do uzupełnienia oraz luka do uzupełnienia będących jego ścianami bocznymi. Siatka luka do uzupełnienia składa się z

6

luka do uzupełnienia .

Ćwiczenie 4

Na poniższym rysunku przedstawiono graniastosłup prawidłowy czworokątny. Narysuj siatkę graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, a następnie podpisz prawidłowo punkty odpowiadające punktom $P$ , $R$ , $S$ , $T$ . Pamiętaj, że jednemu punktowi na siatce graniastosłupa mogą odpowiadać dwa punkty. Zaznacz je tą samą literą.

R1e53RBVN7j6S

Grafika przedstawia graniastosłup prawidłowy czworokątny , niewidoczne boki oznaczone są liniami przerywanymi . W górnej podstawie zaznaczono na czerwono wierzchołek R oraz na żółto wierzchołek T. W dolnej podstawie zaznaczano na zielono wierzchołek P na tej samej wysokości co wierzchołek T , oraz punkt S w połowie boku podstawy , naprzeciwlegle do wierzchołków T i R.

Ćwiczenie 5

Oblicz pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, którego siatkę przedstawia poniższy rysunek.

R1EQAf45xwhUS

Grafika przedstawia siatkę graniastosłupa prawidłowego czworokątnego. Siatka przedstawiona jest w taki sposób że cztery prostokąty ułożone są przylegająco dłuższymi bokami. Powyżej oraz poniżej drugiego prostokąta przylegają kwadraty. Wysokość oznaczono w ostatnim prostokącie jako dłuższy bok i ma ona wartość 5 natomiast dwa boki dolnego kwadratu oznaczono odległościami a. Od lewego górnego wierzchołka drugiego prostokąta do prawego dolnego wierzchołka trzeciego prostokąta poprowadzono odcinek o długości 7.

RQwq2Vp0SVxyN

Niech $a$ oznacza długość krawędzi podstawy rozważanego graniastosłupa. Trójkąt $P R S$ jest prostokątny.

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $P R S$ mamy:

$7^{2} = 5^{2} + {(2 a)}^{2}$ stąd $4 a^{2} = 49 - 25 = 24$ , zatem $a = \sqrt{6}$ .

Możemy obliczyć pole powierzchni całkowitej rozważanego graniastosłupa:

$P_{c} = 2 a^{2} + 4 a h = 12 + 20 \sqrt{6}$ .

Ćwiczenie 6

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy jest trzy razy krótsza od wysokości. Punkt $S$ jest środkiem krawędzi bocznej tego graniastosłupa. Dwa ślimaki poruszają się po powierzchni graniastosłupa wzdłuż różowej ścieżki (od punktu $E$ do punktu $A$ ) lub zielonej ścieżki (od punktu $S$ do punktu $A$ ) jak na rysunku poniżej. Wyznaczymy długości ścieżek i określimy, który z nich dotrze do punktu $A$ w krótszym czasie (zakładamy, że prędkość ruchu ślimaka jest stała).

R10LSlxPrW7fy

Grafika przedstawia graniastosłup prawidłowy czworokątny ABCDEFGH z podstawą o boku a , niewidoczne krawędzie oznaczono przerywanymi liniami. Czerwona linią wychodzi z wierzchołka A przy dolnej podstawie w górę na boku ABFE do punktu na krawędzi BF . Następnie z tego punktu idzie na boku BCGF do punktu na krawędzi GC. Kolejna linia wychodzi z tego punktu po boku DCGH do punktu na krawędzi HD Ostatnia czerwona linia dochodzi do wierzchołka E w górnej podstawie przechodząc po boku ADHE. Zielona linią idąca poniżej linii czerwonej wychodzi z wierzchołka A przy dolnej podstawie w górę na boku ABFE do punktu na krawędzi BF . Następnie z tego punktu idzie na boku BCGF do punktu na krawędzi GC. Kolejna linia wychodzi z tego punktu po boku DCGH do punktu na krawędzi HD Ostatnia czerwona linia dochodzi do punktu S będącego środkiem krawędzi EA przechodząc po boku ADHE.

Niech $a$ oznacza długość krawędzi podstawy rozważanego graniastosłupa.

Na siatce graniastosłupa narysujemy odcinki, aby wyznaczyć najkrótszą trasę po której porusza się ślimak.

R1AxUG8UrbOmc

Grafika przedstawia siatkę graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDEFGH. Siatka przedstawiona jest w taki sposób że cztery prostokąty o podstawie a i wysokości 3a ułożone są przylegająco wysokościami. Powyżej oraz poniżej do drugiego prostokąta przylegają kwadraty. Wierzchołki opisane są tak , że zaczynając od lewej górne wierzchołki górnego kwadratu to EF ,górne wierzchołki prostokątów to EHGFE ,dolne wierzchołki prostokątów to ADCBA a dolne wierzchołki dolnego kwadratu to AB. Z wierzchołka E w pierwszym prostokącie do wierzchołka A w ostatnim prostokącie poprowadzono czerwoną linię a z wierzchołka S w połowie wysokości EA poprowadzono zieloną linię do wierzchołka A.

Dla różowej ścieżki mamy (trójkąt $E A A$ , twierdzenie Pitagorasa) $|E A| = \sqrt{{(3 a)}^{2} + {(4 a)}^{2}} = 5 a$ .

Dla zielonej ścieżki mamy (trójkąt $S A A$ , twierdzenie Pitagorasa) $|S A| = \sqrt{{(0, 5 \cdot 3 a)}^{2} + {(4 a)}^{2}} = \sqrt{\frac{73}{4} a^{2}} = \frac{\sqrt{73}}{2} a \approx 4 a$ .

Ślimak poruszający się zieloną ścieżką będzie szybszy.

Ćwiczenie 7

Na poniższym rysunku przedstawiono siatkę graniastosłupa prawidłowego czworokątnego. Punkty $S_{n}$ , $n = 1, 2, 3, 4$ są środkami krawędzi podstawy. Suma kwadratów długości odcinków $S_{1} S_{2}$ i $S_{3} S_{4}$ wynosi $s^{2}$ . Jakie wymiary ma graniastosłup prawidłowy czworokątny, którego siatkę przedstawia poniższy rysunek, jeżeli jego pole powierzchni bocznej wynosi $2 \sqrt{2} s^{2}$ ?

RqctBHC9WRq7w

Niech $a$ oznacza długość krawędź podstawy rozważanego graniastosłupa, $h$ długość wysokości.

Z treści zadania mamy

$h^{2} + 0, 5 a^{2} = s^{2} (1)$

oraz

$4 a h = 2 \sqrt{2} s^{2}$

Wyznaczając z drugiego równania $2 s^{2} = 2 \sqrt{2} a h$ i podstawiając do pierwszego równania otrzymujemy:

$2 h^{2} - 2 \sqrt{2} a h + a^{2} = 0$

Łatwo zauważyć, że $2 h^{2} - 2 \sqrt{2} a h + a^{2} = {(\sqrt{2} h - a)}^{2} = 0$ , a stąd mamy $a = \sqrt{2} h$ .

Podstawiając do równania $(1)$ otrzymujemy, że $h = \frac{\sqrt{2}}{2} s$ oraz $a = s$ .

Ćwiczenie 8

Na rysunku poniżej przedstawiono niepełną siatkę pewnej bryły, złożoną z dwóch przystających prostokątów i dwóch kwadratów. Wiadomo, że w siatce brakuje dwóch ścian. Pole powierzchni bocznej tej bryły wynosi $96$ , a niektóre ściany mają pole powierzchni równe $9$ . Oblicz objętość tej bryły.

R7OwiXPQacnNU

Grafika przedstawia niepełną siatkę bryły geometrycznej składającą się z prostokątów CDGF i DEHG. Powyżej prostokąta CDGF leży kwadrat FGJI a poniżej kwadrat ABCD.

W przedstawionej siatce odpowiadają sobie odcinki $J G$ i $G H$ oraz $B D$ i $D E$ .

Po ich „sklejeniu” łatwo zauważyć, że powstaje krawędź boczna $I A$ , który wyznacza brakujące ściany – prostokąty.

Zatem otrzymana bryła to graniastosłup prawidłowy czworokątny.

Powierzchnię boczną tego graniastosłupa tworzą cztery przystające prostokąty.

Gdyby ściana boczna miała pole równe $9$ , to powierzchnia boczna wynosiłaby $9 \cdot 4 = 36$ , co nie jest możliwe, bo $36 \neq 96$ .

Wynika stąd, że pole $9$ to pole jednej podstawy – kwadratu.

Zatem krawędź podstawy jest równa $3$ . Pole powierzchni bocznej wynosi $4 \cdot 3 \cdot h = 96$ , stąd otrzymujemy, że wysokość $h$ graniastosłupa jest równa $8$ .

Możemy obliczyć objętość $V = a^{2} h = 9 \cdot 8 = 72$ .

Prezentacja multimedialna

Dla nauczyciela