Symetria wykresu funkcji

W tym materiale dowiesz się, w jaki sposób przekształcać symetrycznie funkcje względem osi $X$ oraz osi $Y$. Zapoznaj się z nim przed przystąpieniem do rozwiązywania zadań z materiałów:

• Symetria osiowa względem osi $X$ i osi $Y$. Zadania - część IDNA8fgabrSymetria osiowa względem osi $X$ i osi $Y$. Zadania - część I,

• Symetria wykresu funkcji względem osi $OX$ i $OY$ - zadaniaD1479kvPUSymetria wykresu funkcji względem osi $OX$ i $OY$ - zadania,

• Symetria punktu względem osi układu współrzędnychD17TGu8tUSymetria punktu względem osi układu współrzędnych.

Rozpatrzmy wykres funkcji

określonej na pewnym podzbiorze zbioru liczb rzeczywistych. Punkt $P=\left(a,b\right)$, który leży na wykresie funkcji $f$ ma współrzędne, które spełniają warunek $b=f\left(a\right)$.
Przekształcając wykres funkcji $f$ w symetrii względem osi $X$, otrzymujemy wykres pewnej funkcji $g$, opisanej równaniem

W symetrii względem osi $X$ obrazem punktu $P$ jest punkt o współrzędnych $\left(a,-b\right)$, leżący na wykresie funkcji $g$. Wynika z tego, że $g\left(a\right)=-b$, czyli $g\left(a\right)=-f\left(a\right)$. Punkt $P$ wybraliśmy dowolnie, a zatem dla każdego $x$ należącego do dziedziny funkcji $f$ zachodzi zależność $g\left(x\right)=-f\left(x\right)$. Wobec tego, przekształcając wykres funkcji $f$ w symetrii względem osi $X$, otrzymujemy wykres funkcji $g$ opisanej wzorem

R11kNckb6wFRU1

Animacja pokazuje przekształcenie wykresu funkcji w symetrii względem osi OX. Zaznaczamy na wykresie funkcji kilka punktów i przekształcamy je w symetrii względem osi OX. Przekształcone punkty po połączeniu tworzą wykres funkcji symetrycznej do danej funkcji względem osi OX.

Animacja pokazuje przekształcenie wykresu funkcji w symetrii względem osi OX. Zaznaczamy na wykresie funkcji kilka punktów i przekształcamy je w symetrii względem osi OX. Przekształcone punkty po połączeniu tworzą wykres funkcji symetrycznej do danej funkcji względem osi OX.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R11kNckb6wFRU

Animacja pokazuje przekształcenie wykresu funkcji w symetrii względem osi OX. Zaznaczamy na wykresie funkcji kilka punktów i przekształcamy je w symetrii względem osi OX. Przekształcone punkty po połączeniu tworzą wykres funkcji symetrycznej do danej funkcji względem osi OX.

Przekształcając wykres funkcji $f$ w symetrii względem osi $Y$, otrzymujemy wykres funkcji $h$ opisanej równaniem

W symetrii względem osi $Y$ obrazem punktu $P$ jest punkt o współrzędnych $\left(-a,b\right)$, leżący na wykresie funkcji $h$. Wynika z tego, że $h\left(-a\right)=b$, czyli $h\left(-a\right)=f\left(a\right)$. Punkt $P$ wybraliśmy dowolnie, co oznacza, że jeśli argumenty funkcji $h$ i $f$ są liczbami przeciwnymi, to wartości tych funkcji są równe. Wobec tego, przekształcając wykres funkcji $f$ w symetrii względem osi $Y$, otrzymujemy wykres funkcji $h$ opisanej wzorem

RJ3qKnaaBMOCm1

Animacja pokazuje przekształcenie wykresu funkcji w symetrii względem osi OY. Zaznaczamy na wykresie funkcji kilka punktów i przekształcamy je w symetrii względem osi OY. Przekształcone punkty po połączeniu tworzą wykres funkcji symetrycznej do danej funkcji względem osi OY.

Animacja pokazuje przekształcenie wykresu funkcji w symetrii względem osi OY. Zaznaczamy na wykresie funkcji kilka punktów i przekształcamy je w symetrii względem osi OY. Przekształcone punkty po połączeniu tworzą wykres funkcji symetrycznej do danej funkcji względem osi OY.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/RJ3qKnaaBMOCm

Animacja pokazuje przekształcenie wykresu funkcji w symetrii względem osi OY. Zaznaczamy na wykresie funkcji kilka punktów i przekształcamy je w symetrii względem osi OY. Przekształcone punkty po połączeniu tworzą wykres funkcji symetrycznej do danej funkcji względem osi OY.