Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki
Polecenie 1

Funkcja y=sinax, gdzie a jest liczbą rzeczywistą różną od 0, jest funkcją okresową, gdyż sinax+2πa=sinax+2π=sinax i okresem tej funkcji jest T=2πa.

A czy funkcja y=sinax+sinbx, gdzie a, b0 jest funkcją okresową?

Zapoznaj się z poniższą symulacją interaktywną i spróbuj postawić hipotezę dla liczb a, b.

RjKYZgnGKQW2z
Symulacja interaktywna przedstawia układ współrzędnych. Pozioma oś X zaprezentowana jest w przedziale -3π2;3π2. Pionowa oś Y z przedziale -2;2,5. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres, którym można manipulować za pomocą umieszczonych poniżej suwaków, czyli dwóch poziomych linii, na których znajduje się punkt, który można przesuwać po tych liniach. Pierwszy suwak, znajdujący się po lewej stronie, opisany jest parametrem A. A przyjmuje wartości od minus pięciu (punkt na suwaku jest najbardziej na lewo) do wartości pięć (najbardziej po prawo). Wartości, które przyjmuje parametr A to liczby całkowite. Drugi suwak, znajdujący się po prawej stronie, opisany jest parametrem B, który również przyjmuje wartości od minus pięciu do pięciu i również są to tylko liczby całkowite. Pod suwakami zapisane jest równanie: y=sinax+sinbx, przy czym za wartości A i B automatycznie podstawiane są liczby, które wybierzemy na suwakach. Mamy tutaj cztery typy przypadków. Pierwszy, gdy A i B są różne, ale nie są liczbami przeciwnymi i żadna z liczb nie jest zerem. W takiej sytuacji otrzymujemy wykresy, które wyglądają jak zdeformowane funkcje sinus. Grzbiety sinusoid są tutaj na kilku różnych wysokościach. Są regularne, jednak ich kształty znacznie obiegają od znanej nam funkcji sinus, a zbiór wartości zmienia się z -1;1 na zbiór -2;2. Sytuacja druga: Liczby A i B są różne, przy czym jedna z nich jest zerem. W tej sytuacji wzór umieszczony pod suwakami możemy uprościć do sinusa wybranego przez nas parametru, ponieważ jeden ze składników wynosi zero. Tutaj zbiór wartości jest zbiorem -1;1. W tym przypadku występuje pewna prawidłowość. Dla wartości parametru od minus pięciu do zera, wykres rozszerza się, to znaczy z każdą kolejną przyjmowaną wartością jego okres zwiększa się. Od zera do pięciu z kolei, wykres ściska się, czyli jego okres staje się coraz krótszy. Trzeci przypadek jest taki, że parametry A i B są liczbami przeciwnymi. W tej sytuacji wykres przyjmuje postać prostej o równaniu y=0. Przypadek czwarty dotyczy parametrów A i B, które są sobie równe. W tym przypadku wykres zawiera się w zbiorze wartości -2;2. Analogicznie jak poprzednio, im parametr jest bliżej zera, tym jego okres jest większy.
Polecenie 2

Uzasadnij, że funkcja y=sinx+sin2x jest funkcją okresową.

Polecenie 3

Uzasadnij, że y=sin6x+sin4x jest okresowa.

Polecenie 4

Uzasadnij, że y=sinax+sinbx, gdzie a, b+ jest funkcją okresową.