Wartość bezwzględna

Definicja: Wartość bezwzględna

Niech $a$ będzie dowolną liczbą rzeczywistą.

Odległość liczby $a$ od liczby $0$ na osi liczbowej nazywamy wartością bezwzględną liczby $a$ .
Wartość bezwzględną liczby $a$ oznaczamy $|a|$ .

Własności wartości bezwzględnej

Własność: Własności wartości bezwzględnej

Zauważmy, że z definicji wartości bezwzględnej wynikają jej własności:

wartość bezwzględna liczby jest dodatnia lub równa $0$ , czyli

$|x| \geq 0$ , dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ ,

jeśli $|x| = 0$ , to $x = 0$ ,
wartości bezwzględne liczb przeciwnych są równe, czyli

$|x| = |- x|$ dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ .

Przykład 1

RWGbRhR2E2IQ91

Przykład 2

R1JX0OGFWae0B1

Ćwiczenie 1

Zaznacz na osi liczbowej liczby spełniające równanie.

$|x| = 6$
$|x| = \sqrt{5}$
$|x| = \sqrt{29} - 1$

RoyX6AKn28j3M1

Przykład 3

R1ZET0nhszI3N1

R1Td51zoR4Ri71

Przykład 4

Rhilyl66tfh9U1

Wartość bezwzględna liczby jest przydatna do definiowania odległości miedzy liczbami na osi liczbowej.

Przykład 5

Oblicz odległość na osi liczbowej liczb $2,5$ i $9$ .

R1R0RXqnWOOWj1

Odległość między tymi liczbami obliczyliśmy, odejmując mniejszą z nich od większej, czyli

9 - 2,5 = 6,5 .

Odległość jest zawsze liczbą nieujemną. Ponieważ nie zawsze możemy łatwo stwierdzić, która z danych liczb jest większa, a która mniejsza, wykorzystamy wartość bezwzględną.

|9 - 2,5| = |2,5 - 9| = 6,5 .

Przykład 6

Oblicz odległość na osi liczbowej liczb $- 1$ i $7,5$ .

RvSiB8GSdWTHl1

Odległość liczb na osi liczbowej

Definicja: Odległość liczb na osi liczbowej

Odległość liczb $a$ i $b$ na osi liczbowej jest równa wartości bezwzględnej ich różnicy $|a - b|$ .
Zapis $|x - 5| = 3$ możemy czytać następująco: odległość liczby $x$ od liczby $5$ na osi liczbowej jest równa $3$ .

Przykład 7

Zaznacz na osi liczbowej liczby, które spełniają równanie

|x - 2| = 4 .

Aby rozwiązać równanie, należy znaleźć takie liczby $x$ , których odległość na osi liczbowej od $2$ jest równa $4$ .

RqouZParilJcT1

Korzystając z interpretacji geometrycznej nierówności, zauważamy, że w odległości $4$ od liczby $2$ znajdują się liczby $- 2$ i $6$ . Są to liczby spełniające równanie.

|x - 2| = 4 .

Przykład 8

Wyznacz liczby, które są rozwiązaniem nierówności

|x - 1| \leq 4 .

R11O3QtwLJ2D21

Korzystając z interpretacji geometrycznej nierówności, zauważamy, że nierówność $|x - 1| \leq 4$ spełniają liczby należące do przedziału $〈- 3, 5〉$ .

Przykład 9

Wyznacz liczby, które są rozwiązaniem nierówności

|x + 1| > 3 .

Jeśli nierówność $|x + 1| > 3$ zapiszemy jako $|x - (- 1)| > 3$ , to będzie można ją odczytać: odległość liczby $x$ od liczby $(- 1)$ jest większa od $3$ .
Zaznaczymy liczby spełniające nierówność na osi liczbowej.

R10HJQYI192EM1

Nierówność $|x + 1| > 3$ spełniają wszystkie liczby należące do sumy przedziałów $(- \infty, - 4) \cup (2, \infty)$ .

classicmobile

Ćwiczenie 2

R17IzrK0fP7Dn1

Połącz w pary nierówności z odpowiednimi opisami słownymi.

odległość liczby x od liczby (-2) jest nie większa niż 7, odległość liczby x od liczby 7 jest nie większa niż 2, odległość liczby x od liczby 7 jest większa od 2, odległość liczby x od liczby (-7) jest większa od 2, odległość liczby x od liczby (-7) jest mniejsza lub równa 2, odległość liczby x od liczby 2 jest mniejsza lub równa 7

$"\|"x - 7"\|" \leq 2$
$"\|"x + 7"\|" \leq 2$
$"\|"x - 2"\|" \leq 7$
$"\|"x + 2"\|" \leq 7$
$"\|"x - 7"\|" > 2$
$"\|"x + 7"\|" > 2$

static

Ćwiczenie 2

Połącz w pary nierówności z odpowiadającymi jej opisami.

Dane
I	$\|x - 7\| \leq 2$	odległość liczby $x$ od liczby $(- 7)$ jest mniejsza lub równa $2$	A
II	$\|x + 7\| \leq 2$	odległość liczby $x$ od liczby $(- 2)$ jest nie większa od $7$	B
III	$\|x - 2\| \leq 7$		C
IV	$\|x - 7\| > 2$	odległość liczby $x$ od liczby $7$ jest większa od $2$	D
V	$\|x + 2\| > 7$	odległość liczby $x$ od liczby $(- 7)$ jest większa od $2$	E
VI	$\|x + 2\| \leq 7$	odległość liczby $x$ od liczby $2$ jest mniejsza lub równa $7$	F
VII	$\|x + 7\| > 2$	odległość liczby $x$ od liczby $7$ jest nie większa od $2$	G

Ćwiczenie 3

Rozwiązaniem nierówności $|x| < 3$ jest zbiór

R18TCEwc8Hxgf

$(- 3,3)$
$"〈"- 3,3"〉"$
$(- \infty, - 3) \cup (3, + \infty)$
$(- \infty, ""- 3"⟩" \cup "⟨"3, ""+ \infty)""""$

Ćwiczenie 4

Liczby spełniające równanie $|x - 5| = 4$ to

RHwoYiVtjriVS

$- 4$ oraz $4$
$- 5$ oraz $5$
$1$ oraz $9$
$- 1$ oraz $- 9$

Ćwiczenie 5

Rozwiązaniem nierówności $|x + 4| \leq 6$ jest przedział

R1UrmVhPD3mIp

$(- 2,10)$
$"〈"- 2,10"〉"$
$(- 10,2)$
$"〈"- 10,2"〉"$

classicmobile

Ćwiczenie 6

Rg9wiLrwE9zMX1

Przeciągnij i upuść.

$"|"x + 1"|" < 4$ , $"|"x - 1"|" < 4$ , $"|"x + 3"|" < 5$ , $"|"x - 3"|" < 5$

Przedział (-3,5) jest rozwiązaniem nierówności .................

static

Ćwiczenie 6

Przedział $(- 3,5)$ jest rozwiązaniem nierówności

$|x - 1| < 4$
$|x + 1| < 4$
$|x - 3| < 5$
$|x + 3| < 5$

Ćwiczenie 7

Liczba $\sqrt{1 \frac{5}{4}}$ należy do przedziału

RUDzooYOZTtV1

$"〈"\frac{2}{3}, \frac{7}{6}"〉"$
$(\frac{3}{5}, \frac{5}{3})$
$""(\frac{5}{4}"", \frac{3}{2}"⟩"$
$(\frac{6}{7}, \frac{11}{10})$

Ćwiczenie 8

Równanie $- 2 x + 4 = 1$ spełnia liczba należąca do przedziału

R16dK2Rdzy0OC

$(1, \frac{3}{2})$
$"〈"- \frac{3}{2}, - 1"〉"$
$"〈"1, \frac{3}{2}"〉"$
$(- \frac{3}{2}, - 1)$

Ćwiczenie 9

Liczba ${x = (\frac{1}{3})}^{- 2}$ spełnia warunek

RxQqx4T9RcPj7

$2 x - 3 > x + 6$
$2 x - 3 \geq x + 6$
$2 x - 3 > x + 7$
$2 x - 3 \geq x + 7$

Ćwiczenie 10

Rozwiązaniem nierówności ${(x + 1)}^{2} \geq x^{2}$ jest przedział

R1afoTaGuXrFe

$(- \infty, ""- \frac{1}{2}"⟩"""$
$"⟨"- \frac{1}{2}, \infty)""$
$(- \infty, ""\frac{1}{2}"⟩"""$
$"⟨"\frac{1}{2}, \infty)""$

Ćwiczenie 11

Liczba $5 - \sqrt{5}$ należy do przedziału

R1YGBWLse6lOE

$(0,1)$
$(- 1,0)$
$(1,2)$
$(2,3)$

Ćwiczenie 12

Liczby należące jednocześnie do przedziałów $(- 5, 3⟩$ i $(- 1,5)$ przedstawione są na rysunku.

R16hdjif7p7J2

Ćwiczenie 13

Ile liczb całkowitych należy do przedziału $(- 3, 2⟩$ ?

R1T2dkdgbAv3p

Ćwiczenie 14

Dane są liczby $a = 3 ∙ 2^{\frac{1}{2}} + {(\frac{1}{4})}^{- 2} ∙ {(\frac{1}{2})}^{3}$ oraz $b = 1, (6) - 3 \sqrt{2}$ . Liczba $a + b$ należy do przedziału

R1430drUwlWnU

$(3, 3 \frac{1}{2})$
$(3 \frac{1}{2}, 4)$
$(4, 4 \frac{1}{2})$
$(4 \frac{1}{2}, 5)$

Ćwiczenie 15

Wskaż nierówność, którą spełniają liczby należące do przedziału zaznaczonego na rysunku.

RasHv6dKVQsL51

Rysunek przedziału liczbowego obustronnie zamkniętego od 3 do 9

Rz4t3CAhD10u4

$"|"x - 3"|" \leq 6$
$"|"x + 3"|" \leq 6$
$"|"x - 6"|" \leq 3$
$"|"x + 6"|" \leq 3$

Ćwiczenie 16

Które zdanie jest prawdziwe?

REvLqpytM9lZ1

Liczba $1 - \sqrt{3}$ spełnia nierówność $"|"x"|" > 1$ .
Liczba $2 + \sqrt{5}$ spełnia nierówność $"|"x - 1"|" \geq 3$ .
Liczba $\sqrt{7} - 3$ spełnia nierówność $"|"x + 2"|" < 1$ .
Liczba $\sqrt{8} + 4$ spełnia nierówność $"|"x - 5"|" > 2$ .

Ćwiczenie 17

Rozwiąż nierówności.

$- 4 x - 6 \leq 0$
$- \frac{4}{5} x + 3 \leq 4$
$7 (x - 6) > - 3 x + 5$
$3 (x + \frac{1}{6}) < \frac{1}{3} x - 5$
$\frac{x + 7}{4} < \frac{2 x - 3}{6}$
$\frac{3 x - 4}{3} \geq \frac{2 x - 3}{5} + x$

$x \geq - \frac{3}{2}$
$x \geq - \frac{5}{4}$
$x > \frac{47}{10}$
$x < - \frac{33}{16}$
$x > 27$
$x \leq - \frac{11}{6}$

Ćwiczenie 18

Rozwiąż nierówności.

$2 (- \sqrt{3} x - 6) \leq 3 \sqrt{3} x + 4$
$\sqrt{5} x - 6 > 7 - 2 \sqrt{5} x$
$\sqrt{2} x + 6 < 7 + \sqrt{8} x$
$\sqrt{6} x + 4 \leq 7 + \sqrt{12} x$
$\sqrt{7} x - 3 \leq 7 + \sqrt{21} x$
$\frac{\sqrt{2} x + 7}{4} < \frac{2 \sqrt{3} x - 3}{6}$

$x \geq - \frac{16 \sqrt{3}}{15}$
$x > \frac{13 \sqrt{5}}{15}$
$x > - \frac{\sqrt{2}}{2}$
$x \geq - \frac{\sqrt{6} + 2 \sqrt{3}}{2}$
$x \geq - \frac{5 (\sqrt{21} + \sqrt{7})}{7}$
$x > \frac{9 (8 \sqrt{3} + 6 \sqrt{2})}{20}$

Ćwiczenie 19

Rozwiąż nierówności.

$4 {(x + 3)}^{2} - 4 (x + 2) (x - 2) < 5$
${(x + 2)}^{2} > x^{2} + 4$
${(2 x + 3)}^{2} + (1 - 2 x) (1 + 2 x) < 2 x - 4$
$9 {(x + \frac{1}{6})}^{2} < \frac{1}{3} x - 5 + {(3 x - \frac{1}{6})}^{2}$
$(\frac{x}{\sqrt{3}} - 2) (\frac{x}{\sqrt{3}} + 2) < \frac{{(x - 2)}^{2}}{3}$
$\frac{{(3 x - 4)}^{2}}{3} \geq {3 (x - 3)}^{2} + x$

$x < - \frac{47}{24}$
$x > 0$
$x < - \frac{7}{5}$
$x < - \frac{47}{33}$
$x < 4$
$x \geq \frac{65}{27}$

Ćwiczenie 20

Zapisz przedział, do którego należą wszystkie liczby spełniające warunek

$x \geq \sqrt{13}$
$x < 2 \sqrt{2}$
$x \geq 1 + \sqrt{3}$
$- 7 \leq x \leq 8$
$3 < x \leq \sqrt{7}$
$x \leq - 3$ lub $x > 5$
$x \geq - 4$ i $x < 10$

$⟨\sqrt{13}, \infty)$
$(- \infty, 2 \sqrt{2})$
$⟨1 + \sqrt{3}, \infty)$
$⟨- 7, 8 >$
$⟨\sqrt{7,} 3)$
$(- \infty, - 3⟩ \cup (5, \infty)$
$⟨- 4, 10)$

Ćwiczenie 21

Wypisz wszystkie liczby całkowite

należące do przedziału $(- \infty, 3)$ i do przedziału $(- 2, 1⟩$
należące do przedziału $(- 4, 8⟩$ i do przedziału $⟨0, 6)$
należące do przedziału $(- 5, - 3)$ i do przedziału $(- 4, \infty)$
należące do przedziału $(- 5, - 3⟩$

- $1, 0, 1$
$0, 1, 2, 3, 4, 5$
nie istnieje taka liczba
$- 4$

Ćwiczenie 22

Zapisz za pomocą układu nierówności zbiór wszystkich liczb, które należą do przedziału

$(42,43)$
$〈- 126, - 116〉$
$(- 2^{15}, 2^{10}⟩$
$〈5 - \sqrt{6}, 5 - \sqrt{2}〉$
$(- \infty, 5^{18})$
$⟨- \sqrt{7}, \infty)$
$(- \infty, 5) \cup ⟨9, \infty)$

$42 < x < 43$
$- 126 \leq x \leq - 116$
${- 2}^{15} < x \leq 2^{10}$
$5 - \sqrt{6} \leq x \leq 5 - \sqrt{2}$
$x < 5^{18}$
$x \geq - \sqrt{7}$
$x < 5$ lub $x \geq 9$

Ćwiczenie 23

Rozwiąż równanie.

$|x - 10| = 6$
$|x + 55| = 11$
$|x - \frac{1}{2}| = \frac{1}{3}$
$|x + 5 \frac{3}{4}| = 3 \frac{1}{4}$
$2 |x - 4| = 7$
$|3 x - 5| = 9$
$|4 - x| = 6$
$|5 + x| = \frac{7}{8}$
$|x - \sqrt{2}| = \sqrt{3}$

$x = 4$ lub $x = 16$
$x = - 66$ lub $x = - 44$
$x = \frac{1}{6}$ lub $x = \frac{5}{6}$
$x = - 9$ lub $x = - 2 \frac{1}{2}$
$x = \frac{1}{2}$ lub $x = 7 \frac{1}{2}$
$x = - 1 \frac{1}{3}$ lub $x = 4 \frac{2}{3}$
$x = - 2$ lub $x = 10$
$x = - 5 \frac{7}{8}$ lub $x = - 4 \frac{1}{8}$
$x = \sqrt{2} - \sqrt{3}$ lub $x = \sqrt{2} + \sqrt{3}$

Ćwiczenie 24

Wyznacz liczby spełniające równanie.

$|x| = 6,25 ∙ 10^{15}$
$|x - 2^{10}| = 2^{9}$
$|x + 3,2 ∙ 10^{- 15}| = 4 ∙ 10^{- 15}$
$|x - 2, (32)| = 2$
$|x + 4| = 2, (21)$

$x = - 6,25 ∙ 10^{15}$ lub $x = 6,25 ∙ 10^{15}$
$x = 3 ∙ 2^{9}$ lub $x = 2^{9}$
$x = 8 ∙ 10^{- 16}$ lub $x = - 7,2 ∙ 10^{- 15}$
$x = 4, (32)$ lub $x = 0, (32)$
$x = - 1, (78)$ lub $x = - 6, (21)$

Ćwiczenie 25

Zaznacz na osi liczbowej i zapisz w postaci przedziału wszystkie liczby spełniające podany warunek.

$- 3 < x < 3$ i $x \geq \frac{3}{2}$ i $x < \sqrt{3}$
$|x| > 5$ i $- 7 \leq x \leq 10$

$⟨\frac{3}{2}, \sqrt{3})$
$⟨- 7, - 5) \cup (5, 10⟩$

Zadania generatorowe

classicmobile

Ćwiczenie 26

R1dwe1Kk5NFJS1

static

Ćwiczenie 26

Podaj rozwiązanie równania $|x + 8| = 5 .$

$"\|"x - 7"\|" \leq 2$
$"\|"x + 7"\|" \leq 2$
$"\|"x - 2"\|" \leq 7$
$"\|"x + 2"\|" \leq 7$
$"\|"x - 7"\|" > 2$
$"\|"x + 7"\|" > 2$

Przedziały liczbowe. Przedziały jako zbiory

Zadania

Wartość bezwzględna - definicja

Zadania generatorowe