Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Zaloguj się aby dodać do ulubionych Ten materiał nie może być udostępniony Dodaj całą stronę do teczki

Analizując zależności funkcyjne między różnymi wielkościami, spotykamy się z przypadkami, w których należy dokładnie ustalić, dla jakich argumentów określamy funkcję. Taką czynność nazywamy wyznaczaniem dziedziny funkcji.

Przykład 1

Rozważmy pole P kwadratu jako funkcję długości jego boku x. Funkcję tę zapisujemy wzorem Px=x2.
Do wzoru funkcji P można podstawiać dowolną liczbę rzeczywistą x, jednak dziedziną tej funkcji nie jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, tylko zbiór liczb dodatnich, bo tylko takie liczby mogą być długościami boków.
Z warunków zadania wynika, że dziedziną DP funkcji P jest zbiór wszystkich liczb dodatnich.

RuPHWcZBzXXfL1
Animacja pokazuje na wykresie funkcji, jak zwiększając długość boku kwadratu a zwiększamy pole tego kwadratu P(a) i odwrotnie zmniejszając bok kwadratu a zmniejszamy pole tego kwadratu P(a).
Przykład 2

W trójkącie ABC dane są długości boków AC=7BC=8. Oznaczmy AB=c. Funkcja L przyporządkowuje długości boku c obwód trójkąta ABC. Wówczas Lc=7+8+c=15+c, przy czym funkcja L jest określona dla tych c, dla których istnieje trójkąt ABC.
Z nierówności trójkąta wiemy, że odcinki o długościach 7, 8, są bokami trójkąta wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są warunki:
c>0, c+7>8, 7+8>c oraz c+8>7.
Stąd c>1c<15. A zatem dziedziną DL funkcji L jest przedział (1, 15).

RPxGBr2QWVcdH1
Animacja pokazuje na wykresie funkcji, jak zwiększając długość boku c trójkąta A B C zwiększa się obwód L(c) trójkąta i odwrotnie zmniejszając długość boku c trójkąta zmniejsza się obwód L(c) trójkąta.
Przykład 3

Rozważmy wszystkie prostokąty, których obwód jest równy 24. Jeżeli przez a oznaczymy długość jednego z boków takiego prostokąta, to sąsiedni bok ma długość 12-a, zatem pole P prostokąta wyraża się wzorem P(a)=a(12-a)=-a2+12a. Taki prostokąt istnieje, gdy a>012-a>0. Wobec tego dziedziną D funkcji P jest przedział 0,12.

RJktEMjulnV171
Animacja pokazuje na wykresie funkcji, jak zmieniając długość boku a prostokąta zmienia się długość drugiego boku (12 -a) oraz jego pole P(a).
Przykład 4

Rozważmy wszystkie pary dodatnich liczb rzeczywistych xy, których suma jest dwa razy mniejsza od ich iloczynu. Zapiszemy liczbę y w zależności od x.
Warunki zadania zapisujemy w postaci
x>0y>0xy=2(x+y).
Z równości xy=2(x+y) wyznaczamy y

xy-2y=2x
yx-2=2x

Zauważmy, że dla x=2 otrzymujemy równość sprzeczną 0=4. A zatem dla x2 mamy y=2xx-2. Wynika z tego, że liczba dodatnia y jest ilorazem liczby dodatniej 2x i liczby x  2, więc x  2>0, czyli x>2.
Zatem funkcję y zapisujemy wzorem

yx=2xx-2

a dziedziną D tej funkcji jest przedział

2,+
R1ZPVCqMX37D31
Animacja pokazuje na wykresie funkcji, jak zwiększając wartość liczby x zmniejsza się wartość liczby y zgodnie ze wzorem y(x) = ułamek licznik 2x mianownik x -2.
C
Ćwiczenie 1

Znajdź wszystkie pary dodatnich liczb całkowitych xy, których suma jest dwa razy mniejsza od ich iloczynu.

Przykład 5

Rozważmy wszystkie trójkąty prostokątne o przeciwprostokątnej długości 5. Na przyprostokątnych takiego trójkąta zbudujemy kwadraty o polach xy. Wyznaczymy długość boku kwadratu o polu y w zależności od x.
Wiemy, że x>0y>0. Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że x+y=52, czyli y=25-x.
Zatem długość d boku kwadratu o polu y jest funkcją zmiennej x, postaci dx=25-x, a dziedziną Dd tej funkcji jest przedział (0, 25).

RjA27WhYSbmQY1
Animacja pokazuje na wykresie funkcji, jak zwiększając pole kwadratu x zmniejsza się pole kwadratu y i odwrotnie zmniejszając pole kwadratu x zwiększa się pole kwadratu y.
Przykład 6

Rozważmy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne, których suma długości wszystkich krawędzi jest równa 16. Wyznaczymy objętość V takiego graniastosłupa w zależności od długości a krawędzi jego podstawy.
Oznaczmy długość krawędzi bocznej tego graniastosłupa przez b. Z warunków zadania mamy a>0b>0 oraz 8a+4b=16, skąd b=4-2a,  zatem a<2.
Wobec tego objętość V graniastosłupa jest funkcją zmiennej a postaci

Va=a24-2a=-2a3+4a2

a dziedziną funkcji V jest przedział (0, 2).

R1XRkmissaAUc1
Animacja pokazuje na wykresie funkcji, jak zmieniając długość krawędzi podstawy graniastosłupa a zmienia się jego objętość V, zgodnie ze wzorem V(a) =-2 razy a do potęgi trzeciej +4 razy a do kwadratu.
Przykład 7

Rozważmy wszystkie liczby dwucyfrowe, których suma cyfr jest równa 15, a cyfrą dziesiątek jest x. Zapiszemy taką liczbę dwucyfrową wzorem zależnym od x.
Z warunków zadania wynika, że cyfrą jedności takiej liczby jest 15-x, a tą liczbą dwucyfrową jest 10x+(15-x).
Zauważmy, że powyższy wzór określa liczbę dwucyfrową wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są następujące dwa warunki:

  • cyfra dziesiątek: x jest jedną z liczb: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,

  • cyfra jedności: 15x jest jedną z liczb: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Wobec tego x należy do zbioru {6, 7, 8, 9}.
Zapisując tę liczbę dwucyfrową jako funkcję f zmiennej x, otrzymujemy

fx=10x+15-x=9x+15

Dziedziną funkcji f jest zbiór czteroelementowy {6, 7, 8, 9}.

R4pbJcj9FghOM1
Przykład 8

Na rysunku przedstawiony jest wykres zmian ceny akcji pewnej spółki w ciągu kilku miesięcy 2013 2014 r. Na podstawie wykresu można odczytać cenę akcji w każdym miesiącu, w którym została ona zapisana. Jednak przebieg tej funkcji opisującej te zmiany zmienia się w czasie rzeczywistym. Nie jesteśmy w stanie wyznaczyć wartości akcji w kolejnych miesiącach.

R12TvUkIW9pm11
K
Ćwiczenie 2

Zapoznaj się z najprostszą metodą przewidywania cen akcji na giełdzie.

K
Ćwiczenie 3

Zapoznaj się ze stroną internetową zawierającą informacje o notowaniu spółek giełdowych. Wybierz jedną z nich i śledź zmiany jej ceny przez kilka dni. Staraj się codziennie przewidzieć cenę spółki i oceń trafność swoich przewidywań.

Aplikacje dostępne w
Pobierz aplikację ZPE - Zintegrowana Platforma Edukacyjna na androida