Zadania

classicmobile

Ćwiczenie 1

R8At1cLTKiHp61

Przeciągnij liczby z dolnej sekcji do górnej.

liczby naturalne
liczby, które NIE są liczbami naturalnymi

static

Ćwiczenie 1

Dane są liczby: $- 4$ , $\frac{3}{2}$ , $7$ , $\sqrt{3}$ , ${(\frac{1}{5})}^{- 1}$ , $4 \sqrt{5} - \sqrt{5}$ , $\sqrt{9}$ , $0$ . Wypisz

liczby naturalne,
liczby, które nie są liczbami naturalnymi.

liczby naturalne: $7$ , ${(\frac{1}{5})}^{- 1}$ , $\sqrt{9}$ , $0$ .
liczby, które nie są liczbami naturalnymi: $- 4$ , $\frac{3}{2}$ , $\sqrt{3}$ , $4 \sqrt{5} - \sqrt{5}$ .

classicmobile

Ćwiczenie 2

R1EPht8lVZpRT1

Przeciągnij liczby z dolnej sekcji do górnej.

liczby całkowite
liczby, które NIE są liczbami całkowitymi

static

Ćwiczenie 2

Dane są liczby: $- 4$ , $\frac{3}{2}$ , $7$ , $\sqrt{3}$ , ${(\frac{1}{5})}^{- 1}$ , $1 6^{- 1}$ , $\sqrt{9}$ , $0$ , $\frac{12}{3}$ . Wypisz

liczby całkowite,
liczby, które nie są liczbami całkowitymi.

liczby całkowite: $- 4$ , $7$ , ${(\frac{1}{5})}^{- 1}$ , $\sqrt{9}$ , $0$ , $\frac{12}{3}$ .
liczby, które nie są liczbami całkowitymi: $\frac{3}{2}$ , $\sqrt{3}$ , $1 6^{- 1}$ .

classicmobile

Ćwiczenie 3

R1GyH4iUaRCyX1

Przeciągnij liczby z dolnej sekcji do górnej.

liczby wymierne
liczby, które NIE są liczbami wymiernymi (niewymierne)

static

Ćwiczenie 3

Dane są liczby: $- 4$ , $\frac{3}{2}$ , $7$ , $\sqrt{3}$ , ${(\frac{1}{5})}^{- 1}$ , $4 \sqrt{5} - \sqrt{5}$ , $1 6^{- 1}$ , $\sqrt{9}$ , $0$ , $\frac{12}{3}$ , $π$ . Wypisz

liczby wymierne,
liczby, które nie są liczbami wymiernymi.

liczby wymierne: $- 4$ , $1 6^{- 1}$ , $\frac{3}{2}$ , ${(\frac{1}{5})}^{- 1}$ , $7$ , $\sqrt{9}$ , $0$ , $\frac{12}{3}$ .
liczby, które nie są liczbami wymiernymi (niewymierne): $\sqrt{3}$ , $4 \sqrt{5} - \sqrt{5}$ , $π$ .

Ćwiczenie 4

Odpowiedz na pytania.

Podaj przykład liczby całkowitej, która nie jest liczbą naturalną.
Podaj przykład liczby wymiernej, która nie jest całkowita.
Czy istnieje liczba naturalna, która nie jest wymierna?
Czy istnieje liczba naturalna, która nie jest całkowita?

Taka liczba to np. $- 2$ .
Taka liczba to np. $- \frac{1}{2} .$
Nie. Każdą liczbę naturalną można przedstawić w postaci ułamka zwykłego, np. $4 = \frac{4}{1} = \frac{8}{2} = \frac{- 8}{- 2} = \dots$
Nie. Każda liczba naturalna jest całkowita.

Przykład 1

RRoy91yknJFKt1

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DHgKgyx88

Animacja

classicmobile

Ćwiczenie 5

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R2E8S1Aul5WPI

Wynikiem działania $\frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{8} - \frac{1}{16}$ jest liczba $\frac{1}{16}$ .
Wynikiem odejmowania $\frac{11}{18} - \frac{5}{6}$ jest liczba $(- \frac{1}{2})$ .
Wynikiem mnożenia $2 \frac{3}{4} ∙ \frac{8}{11}$ jest liczba $2 \frac{6}{11}$ .
Wynikiem dzielenia $3 \frac{1}{2} : 2 \frac{3}{4}$ jest liczba $1 \frac{3}{11}$ .

static

Ćwiczenie 5

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1b1p0ASwXtCW

Wynikiem działania $\frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{8} - \frac{1}{16}$ jest liczba $\frac{1}{16}$ .
Wynikiem odejmowania $\frac{11}{18} - \frac{5}{6}$ jest liczba $(- \frac{1}{2})$ .
Wynikiem mnożenia $2 \frac{3}{4} ∙ \frac{8}{11}$ jest liczba $2 \frac{6}{11}$ .
Wynikiem dzielenia $3 \frac{1}{2} : 2 \frac{3}{4}$ jest liczba $1 \frac{3}{11}$ .

classicmobile

Ćwiczenie 6

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R19aOizTGVqbK

Iloczyn liczb $2,35$ i $0,4$ jest równy $0,94$ .
Iloraz liczby $4,8$ przez liczbę $0,03$ jest równy $16$ .
Wynikiem działania $\frac{0,92 + 0,49}{0,3 ∙ 0,1}$ jest liczba $47$ .

static

Ćwiczenie 6

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R18VMTdN23exm

Iloczyn liczb $2,35$ i $0,4$ jest równy $0,94$ .
Iloraz liczby $4,8$ przez liczbę $0,03$ jest równy $16$ .
Wynikiem działania $\frac{0,92 + 0,49}{0,3 ∙ 0,1}$ jest liczba $47$ .

Ważne!

Mówimy, że liczby $a$ i $b$ są przeciwne, jeżeli $a + b = 0$ . Liczbę przeciwną do $x$ oznaczamy $- x$ .
Mówimy, że liczby $a$ i $b$ są odwrotne, jeżeli $a ∙ b = 1$ . Liczbą odwrotną do liczby $x$ różnej od zera jest $\frac{1}{x}$ . Zauważmy, że nie ma liczby odwrotnej do zera, gdyż nie istnieje taka liczba, która pomnożona przez $0$ dałaby $1$ .
Zauważ, że jeżeli $x \neq 0,$ to iloczyn liczby odwrotnej do $x$ i liczby przeciwnej do $x$ jest równy $- 1$ .

- x ∙ \frac{1}{x} = - 1

classicmobile

Ćwiczenie 7

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

REcks4sb0jrbO

Liczba $1 \frac{3}{7}$ jest odwrotna do liczby $\frac{7}{10} .$
Liczbą przeciwną do $\frac{11}{20}$ jest liczba $(- 0,55)$ .
Każda liczba rzeczywista ma liczbę do siebie odwrotną.
Każda liczba rzeczywista ma liczbę do siebie przeciwną.
Liczbą odwrotną do liczby $2 \frac{2}{5}$ jest liczba przeciwna do liczby $- \frac{5}{12}$ .

static

Ćwiczenie 7

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

RalyZ17SeGWgx

Liczba $1 \frac{3}{7}$ jest odwrotna do liczby $\frac{7}{10} .$
Liczbą przeciwną do $\frac{11}{20}$ jest liczba $(- 0,55)$ .
Każda liczba rzeczywista ma liczbę do siebie odwrotną.
Każda liczba rzeczywista ma liczbę do siebie przeciwną.
Liczbą odwrotną do liczby $2 \frac{2}{5}$ jest liczba przeciwna do liczby $- \frac{5}{12}$ .

classicmobile

Ćwiczenie 8

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1GCAcrLoINjd

Liczba $3 \frac{1}{8}$ jest większa od liczby $- 2 \frac{3}{4}$ o $5 \frac{3}{8}$ .
Średnia arytmetyczna liczb $2 \frac{5}{9}$ oraz $1 \frac{7}{12}$ jest równa $2 \frac{1}{6}$ .
Liczba $0, (36)$ leży pomiędzy liczbami $\frac{9}{25}$ i $\frac{37}{100}$ .
Podwojonym iloczynem liczb $2 \frac{3}{5}$ i $- \frac{1}{2}$ jest $- 2,6$ .

static

Ćwiczenie 8

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

RuzMaH043Vegz

Liczba $3 \frac{1}{8}$ jest większa od liczby $- 2 \frac{3}{4}$ o $5 \frac{3}{8}$ .
Średnia arytmetyczna liczb $2 \frac{5}{9}$ oraz $1 \frac{7}{12}$ jest równa $2 \frac{1}{6}$ .
Liczba $0, (36)$ leży pomiędzy liczbami $\frac{9}{25}$ i $\frac{37}{100}$ .
Podwojonym iloczynem liczb $2 \frac{3}{5}$ i $- \frac{1}{2}$ jest $- 2,6$ .

Przykład 2

RCQ9vgZPX4an91

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DHgKgyx88

Animacja

classicmobile

Ćwiczenie 9

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1ZgLPbKGV3dr

Po wykonaniu obliczeń $(\frac{2}{15} + 0,45) ∙ \frac{3}{7}$ otrzymamy liczbę $0,4$ .
Wynik działania $\frac{2,75 - 1 \frac{1}{2} : (- 3,375)}{5 - 2 \frac{4}{9}}$ jest liczbą większą od $1$ .
Wynik działania $\frac{- 2,25 + (2 - 3 \frac{4}{5})}{- 3 \frac{4}{17} ∙ \frac{1}{5} + 1 \frac{2}{8} : 2,125}$ jest liczbą ujemną.

static

Ćwiczenie 9

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1aAKjKsOx6ay

Po wykonaniu obliczeń $(\frac{2}{15} + 0,45) ∙ \frac{3}{7}$ otrzymamy liczbę $0,4$ .
Wynik działania $\frac{2,75 - 1 \frac{1}{2} : (- 3,375)}{5 - 2 \frac{4}{9}}$ jest liczbą większą od $1$ .
Wynik działania $\frac{- 2,25 + (2 - 3 \frac{4}{5})}{- 3 \frac{4}{17} ∙ \frac{1}{5} + 1 \frac{2}{8} : 2,125}$ jest liczbą ujemną.

classicmobile

Ćwiczenie 10

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R62GbbC3S107N

Ułamek $\frac{1}{7}$ ma skończone rozwinięcie dziesiętne.
Ułamek $0, (27)$ jest równy $\frac{3}{11}$ .
Liczba $3, (6)$ jest wymierna.
Suma liczb $0, <mfenced separators="|"> 4 + 0, (18)$ jest równa $0, <mfenced separators="|"> 62 .$

static

Ćwiczenie 10

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

ReyTFrnw2jQ8B

Ułamek $\frac{1}{7}$ ma skończone rozwinięcie dziesiętne.
Ułamek $0, (27)$ jest równy $\frac{3}{11}$ .
Liczba $3, (6)$ jest wymierna.
Suma liczb $0, (4) + 0, (18)$ jest równa $0, (62) .$

classicmobile

Ćwiczenie 11

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

RSgVdnSwLQmYP

Dwudziesta pierwsza cyfra po przecinku w rozwinięciu dziesiętnym liczby $0, (725)$ jest równa $5$ .
Ósma cyfra po przecinku w rozwinięciu dziesiętnym liczby $\frac{41}{11}$ jest równa $7$ .

static

Ćwiczenie 11

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R2Sp39JyCIG4d

Dwudziesta pierwsza cyfra po przecinku w rozwinięciu dziesiętnym liczby $0, (725)$ jest równa $5$ .
Ósma cyfra po przecinku w rozwinięciu dziesiętnym liczby $\frac{41}{11}$ jest równa $7$ .

classicmobile

Ćwiczenie 12

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1DCvFpv9Vb4P

Ułamek $\frac{11}{15}$ jest równy $\frac{112}{152}$ .
Największą liczbą, przez jaką można skrócić licznik i mianownik ułamka $\frac{2376}{2592}$ jest $216$ .
Ułamek $\frac{1326}{3913}$ jest ułamkiem skracalnym.
Ułamek $\frac{520}{1041}$ jest ułamkiem nieskracalnym.

static

Ćwiczenie 12

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R8FvwXl1FC0tF

Ułamek $\frac{11}{15}$ jest równy $\frac{112}{152}$ .
Największą liczbą, przez jaką można skrócić licznik i mianownik ułamka $\frac{2376}{2592}$ jest $216$ .
Ułamek $\frac{1326}{3913}$ jest ułamkiem skracalnym.
Ułamek $\frac{520}{1041}$ jest ułamkiem nieskracalnym.

Rx4053C2ox4oV1

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DHgKgyx88

Animacja

Ćwiczenie 13

Liczba $2 \frac{3}{7} - 1 \frac{2}{5}$ jest mniejsza od liczby $\frac{3}{5} + \frac{8}{7}$

RMdGyJtVhWsiD

o $\frac{5}{7}$
o $\frac{7}{5}$
o $1 \frac{1}{2}$
o $\frac{1}{2}$

Ćwiczenie 14

Wynikiem działania $\frac{7}{8} + \frac{7}{4} - \frac{7}{16}$ jest liczba

RwRvvg7fvf3jQ

$2,725$
$2,1853$
$2,1875$
$2,987$

Ćwiczenie 15

Odwrotnością liczby $\frac{7}{8} + \frac{7}{4} - \frac{7}{16}$ jest liczba

RIoajH180ukRl

$1 \frac{5}{35}$
$\frac{13}{35}$
$\frac{16}{35}$
$\frac{35}{16}$

Ćwiczenie 16

Dane są liczby $a = 2 \frac{3}{7}, b = 1 \frac{3}{5}, c = 3 \frac{1}{4}$ . Różnica liczb $(a + b) c$ i $(a - b) c$ jest równa

RusysswZHOLNZ

$\frac{87}{4}$
$\frac{52}{5}$
$\frac{1059}{140}$
$10 \frac{3}{5}$

Ćwiczenie 17

Niech $a = \frac{3}{5}$ i $b = \frac{1}{12}$ . Wskaż liczbę, której rozwinięcie dziesiętne jest skończone.

RKnsVwpsSoKPu

$a + b$
$a - b$
$ab$
$\frac{b}{a}$

Ćwiczenie 18

Która równość jest prawdziwa?

R15SZFM8HWDj6

$\frac{384}{40320} = \frac{2}{3}$
$\frac{384}{40320} = \frac{21}{13}$
$\frac{384}{40320} = \frac{1}{8}$
$\frac{384}{40320} = \frac{1}{105}$

Ćwiczenie 19

Liczbą $x$ , która spełnia równanie $\frac{1}{22} + x = 0,06 (81)$ jest

Racf2S0D0DCf1

$0,02 (27)$
$\frac{2}{44}$
$0, (343)$
$0,34$

Ćwiczenie 20

Niech $x = 3 \frac{1}{5}$ i $y = 4 \frac{1}{4}$ . Prawdziwa jest równość

R1DLbCzOPHe5o

$x + y = 13 \frac{3}{5}$
$xy = 13 \frac{3}{5}$
$\frac{x}{y} = 13 \frac{3}{5}$
$x - y = 13 \frac{3}{5}$

Ćwiczenie 21

Niech $x = 0, (03)$ i $y = 0, (01)$ . Wskaż równość prawdziwą.

R1QqbhhvdmBDq

$x + y = 0, (4)$
$xy = 3$
$\frac{x}{y} = 3$
$x - y = 0, (2)$

Ćwiczenie 22

Dane są liczby $x = 0, (285714)$ i $y = 0, (142857)$ . Suma $x + y$ jest równa

RGGQJ8iIiJCW6

$0, (448571)$
$0, (428561)$
$0, (423571)$
$0, (428571)$

Ćwiczenie 23

Dane są liczby $x = \frac{5}{9}$ i $y = 0, (003)$ . Różnica $x - y$ jest równa

RL0VLDCTqQBL8

$0, (553)$
$0, (552)$
$0, (558)$
$0, (559)$

Ćwiczenie 24

Iloczyn cyfr stojących na trzydziestym pierwszym i trzydziestym drugim miejscu po przecinku w rozwinięciu dziesiętnym ułamka $\frac{8}{11}$ jest równy

RPgLIGnDKiTNT

$15$
$13$
$14$
$16$

Ćwiczenie 25

Niech $x = 0,875$ i $y = 0,9875$ . Zapisz każdą z liczb $x + y, x - y, xy, \frac{y}{x}$ w postaci ułamka zwykłego, nieskracalnego.

$x + y = \frac{149}{80}$
$x - y = - \frac{9}{80}$
$xy = \frac{553}{640}$
$\frac{y}{x} = \frac{79}{70}$

Ćwiczenie 26

Zapisz rozwinięcie dziesiętne

odwrotności liczby naturalnej większej od $10$ i mniejszej od $12$
sumy odwrotności trzech początkowych liczb pierwszych

$\frac{1}{11} = 0, (09)$
$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{31}{30} = 1,0 (3)$

Ćwiczenie 27

Dane są wszystkie jednocyfrowe liczby całkowite dodatnie podzielne przez $4$ . Zapisz rozwinięcie dziesiętne sumy kwadratów odwrotności tych liczb.

${(\frac{1}{4})}^{2} + {(\frac{1}{8})}^{2} = \frac{1}{16} + \frac{1}{64} = \frac{5}{64} = 0,078125$

Jednocyfrowe liczby całkowite, dodatnie, podzielne przez $4$ to $4$ i $8$ . Suma kwadratów odwrotności tych liczb jest równa

{(\frac{1}{4})}^{2} + {(\frac{1}{8})}^{2} = \frac{1}{16} + \frac{1}{64} = \frac{5}{64} = 0,078125 .

Ćwiczenie 28

Podaj rozwinięcia dziesiętne ułamków zwykłych: $\frac{149}{80}, - \frac{9}{80}, \frac{553}{640} .$

$1,8625$
$- 0,1125$
$0,8640625$

Ćwiczenie 29

Dane są liczby $a = \frac{1}{2} + \frac{3}{2 + 4} + \frac{5}{2 + 4 + 6}$ oraz $b = \frac{2}{3} + \frac{4}{3 + 5} + \frac{6}{3 + 5 + 7}$ . Wykaż, że $\frac{1}{2} b - \frac{1}{5} a = \frac{1}{2}$ .

Po wykonaniu działań otrzymamy

a = \frac{1}{2} + \frac{3}{2 + 4} + \frac{5}{2 + 4 + 6} = \frac{17}{12}

b = \frac{2}{3} + \frac{4}{3 + 5} + \frac{6}{3 + 5 + 7} = \frac{47}{30} .

Zatem

\frac{1}{2} b - \frac{1}{5} a = \frac{1}{2} ∙ \frac{47}{30} - \frac{1}{5} ∙ \frac{17}{12} = \frac{30}{60} = \frac{1}{2} .

Ćwiczenie 30

Oblicz i zapisz wynik w postaci ułamka nieskracalnego.

$\frac{25}{231} + \frac{2}{63} + \frac{5}{99}$
$\frac{13}{60} + \frac{55}{126} + \frac{17}{35}$
$\frac{95}{133} + \frac{46}{91} + \frac{138}{161}$
$\frac{5}{24} - \frac{11}{57} + \frac{57}{456}$

$\frac{4}{21}$
$\frac{41}{36}$
$\frac{27}{13}$
$\frac{8}{57}$

classicmobile

Ćwiczenie 31

RVOcH6TjnHcKZ1

static

Ćwiczenie 31

Porównaj liczby

$0, (36) \dots \frac{5}{11}$
$\frac{5}{16} \dots \frac{4}{17}$
$2, (9) \dots 3$
$2, (3) + \frac{1}{11} \dots 2 ∙ 1, (27)$

$0, (36) < \frac{5}{11}$
$\frac{5}{16} > \frac{4}{17}$
$2, (9) = 3$
$2, (3) + \frac{1}{11} < 2 ∙ 1, (27)$

Ćwiczenie 32

Oblicz i zapisz wynik w postaci ułamka dziesiętnego.

$(\frac{1}{3} + 2 \frac{1}{9}) ∙ (\frac{1}{2} + 2 \frac{1}{4})$
$(\frac{1}{3} + 2 \frac{1}{9}) : (\frac{1}{2} + 2 \frac{1}{4})$

$6,7 (2)$
$0, (8)$

Ćwiczenie 33

Wyznacz taki ułamek zwykły $x$ , aby równość była prawdziwa.

$\frac{6}{7} + x = 0,0 (45)$
$\frac{1}{3} + x = \frac{1}{4} + 0, (09)$
$0, (01) + x = \frac{1}{33}$
$\frac{x}{11} + \frac{2}{7} = 0,0 (45)$

$- \frac{125}{154}$
$\frac{1}{132}$
$\frac{2}{99}$
$- \frac{37}{14}$

Ćwiczenie 34

Wyznacz taki ułamek dziesiętny $x$ , aby równość była prawdziwa.

$\frac{1}{3} + x = 1,1 (6)$
$\frac{1}{3} + x ∙ 0,0 (18) = \frac{1}{4} + 0,125$
$0, (01) + x = \frac{1}{33} + 0,1 (6)$
$\frac{x}{11} + \frac{2}{3} = 0,041 (6)$

$0,8 (3)$
$2,291 (6)$
$0,1 (86)$
$- 6,875$

Ćwiczenie 35

Wyznacz liczbę, która na osi liczbowej leży w jednakowej odległości od liczb $x$ i $y$ , gdy

$x = \frac{5}{13}$ , $y = \frac{5}{12}$
$x = 5, (3)$ , $y = 5, (36)$
$x = \frac{1}{a}$ , $y = \frac{1}{b}$

$\frac{125}{312}$
$5,3 (48)$
$\frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}{2} = \frac{\frac{a + b}{ab}}{2} = \frac{a + b}{2 ab}$

Tą liczbą jest średnia arytmetyczna liczb $x$ i $y$ .

Ćwiczenie 36

Podaj przykład liczby, która na osi liczbowej leży między liczbami

$\frac{19}{16}$ i $\frac{17}{14}$
$3, (5)$ i $3, (6)$
$- 5 \frac{1}{3}$ i $- 5 \frac{1}{4}$

np. $\frac{135}{112}$
np. $\frac{65}{18} = 3 \frac{11}{18}$
np. $- 5 \frac{7}{24}$

Ćwiczenie 37

Wyznacz wszystkie nieskracalne ułamki zwykłe o liczniku $3$ , które są większe od $\frac{4}{11}$ i mniejsze od $\frac{7}{13}$ .

Są tylko dwa takie ułamki $\frac{3}{7}$ i $\frac{3}{8}$

Ćwiczenie 38

Znajdź wszystkie pary dodatnich liczb całkowitych $a$ i $b$ , dla których spełniony jest warunek $\frac{3}{7} < \frac{a}{11} < \frac{4}{b} < \frac{17}{20}$ .

Dodatnie liczby całkowite $a$ i $b$ muszą spełniać warunki: $a \geq 5$ i $b \geq 5$ i $a ∙ b < 44 .$
Jest $10$ takich par: $\{\begin{matrix} a = 5 \\ b = 5 \end{matrix}$ , $\{\begin{matrix} a = 5 \\ b = 6 \end{matrix}$ , $\{\begin{matrix} a = 5 \\ b = 7 \end{matrix}$ , $\{\begin{matrix} a = 5 \\ b = 8 \end{matrix}$ , $\{\begin{matrix} a = 6 \\ b = 5 \end{matrix}$ , $\{\begin{matrix} a = 6 \\ b = 6 \end{matrix}$ , $\{\begin{matrix} a = 6 \\ b = 7 \end{matrix}$ , $\{\begin{matrix} a = 7 \\ b = 5 \end{matrix}$ , $\{\begin{matrix} a = 7 \\ b = 6 \end{matrix}$ , $\{\begin{matrix} a = 8 \\ b = 5 \end{matrix}$ .

Rozważmy nierówność $\frac{3}{7} < \frac{a}{11}$ . Wspólnym mianownikiem obu ułamków jest $77$ . Otrzymujemy nierówność $\frac{33}{77} < \frac{7 a}{77}$ , czyli $33 < 7 a$ , stąd $a > \frac{33}{7}$ . Ponieważ $a$ jest liczbą dodatnią i całkowitą, zatem otrzymujemy $a \geq 5$ .
Przeprowadź podobne rozumowanie dla pozostałych dwóch nierówności, aby dowiedzieć się, jakie warunki spełnia $b$ oraz $a ∙ b$ .

Ćwiczenie 39

Dziesiąta część uczestników maratonu przebiegła wyznaczoną trasę w czasie krótszym niż $3 h$ . Połowa pozostałych uczestników uzyskała czas nie dłuższy niż $4 h$ . Jaka część spośród wszystkich zawodników maratonu przebiegła trasę w czasie dłuższym niż $4 h$ ?

$\frac{9}{20}$

Ćwiczenie 40

Podaj trzy różne liczby naturalne $n$ , dla których ułamek $\frac{2 n + 1}{3 n + 5}$ jest skracalny. Przez jaką liczbę naturalną, w każdym przypadku, ten ułamek można skrócić?

Ułamek jest skracalny na przykład dla:

$n = 3$ ułamek jest równy $\frac{7}{14}$ , a po skróceniu $\frac{1}{2}$
$n = 10$ ułamek jest równy $\frac{21}{35}$ , a po skróceniu $\frac{3}{5}$
$n = 17$ ułamek jest równy $\frac{35}{56},$ a po skróceniu $\frac{5}{8}$

W każdym przypadku ułamek można skrócić przez $7$ .

Ćwiczenie 41

Uzasadnij, że dla każdej liczby naturalnej $a$ ułamek $\frac{a}{2 a + 1}$ jest nieskracalny.

Zauważymy, że $(2 a + 1) - 2 a = 1$ . Zatem dla dowolnej liczby naturalnej $a$ ułamek jest nieskracalny.

Ćwiczenie 42

Sprawdź, czy istnieją liczby naturalne $n$ , dla których ułamek $\frac{7 n + 11}{3 n + 4}$ można skrócić przez $5$ . Czy istnieje liczba naturalna $n$ , dla której ten ułamek można skrócić przez liczbę większą niż $5$ ?

Zauważmy, że

3 ∙ (7 n + 11) - 7 ∙ (3 n + 4) = 5,

więc dla ustalonej liczby naturalnej $n$ wspólny dzielnik liczb $7 n + 11$ i $3 n + 4$ jest dzielnikiem liczby $5$ . Wynika z tego, że nie istnieje taka liczba naturalna $n$ , dla której ułamek $\frac{7 n + 11}{3 n + 4}$ można skrócić przez liczbę większą niż $5$ .
Ułamek jest skracalny np.

dla $n = 2$ otrzymujemy ułamek $\frac{25}{10},$ a po skróceniu $\frac{5}{2}$
dla $n = 7$ otrzymujemy ułamek $\frac{60}{25}$ , a po skróceniu $\frac{12}{5}$
dla $n = 12$ otrzymujemy ułamek $\frac{95}{4}$ , a po skróceniu $\frac{19}{8}$

W każdym przypadku ułamek został skrócony przez $5$ .

Liczby naturalne, całkowite i wymierne

Procenty i punkty procentowe