Argumenty, dla których funkcja przyjmuje daną wartość

Aby odczytać z wykresu, czy i dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartość $w$, wystarczy dorysować prostą równoległą do osi $X$, na której leżą wszystkie punkty, których druga współrzędna jest równa $w$ (o takiej prostej mówimy, że ma równanie $y=w$). Jeżeli taka dorysowana prosta przecina wykres danej funkcji, to odczytując pierwszą współrzędną każdego z punktów przecięcia, wyznaczymy argumenty, dla których funkcja przyjmuje daną wartość.

R1GOQYdV6ydwX1

Animacja przedstawia w jaki sposób odczytujemy argumenty, dla których funkcja przyjmuje zadaną wartość.

Animacja przedstawia w jaki sposób odczytujemy argumenty, dla których funkcja przyjmuje zadaną wartość.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R1GOQYdV6ydwX

Animacja przedstawia w jaki sposób odczytujemy argumenty, dla których funkcja przyjmuje zadaną wartość.

Wyznaczymy wszystkie miejsca zerowe funkcji.

• $p\left(x\right)=8-7x$.

Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych.

Rozwiązujemy równanie $p\left(x\right)=0$, a zatem $8-7x=0$, skąd $7x=8$, czyli $x=\frac{8}{7}$.

Funkcja $p$ ma jedno miejsce zerowe $x=\frac{8}{7}$.

• $k\left(x\right)=\left(3x-2\right)\left(x+1\right)$.

Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych.

Rozwiązujemy równanie $k\left(x\right)=0$, a zatem $\left(3x-2\right)\left(x+1\right)=0$. Ponieważ iloczyn jest równy $0$ wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy $0$, więc $3x-2=0$ lub $x+1=0$. Stąd $x=\frac{2}{3}$ lub $x=-1$.

Funkcja $k$ ma dwa miejsca zerowe: $x_1=\frac{2}{3}$ oraz $x_2=-1$.

• $f\left(x\right)=x^2-4$.

Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych.

Rozwiązujemy równanie $f\left(x\right)=0$, a zatem $x^2-4=0$. Korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów, zapisujemy równanie w postaci $\left(x-2\right)\left(x+2\right)=0$, a więc $x-2=0$ lub $x+2=0$. Wynika z tego, że $x=2$ lub $x=-2$.

Funkcja $f$ ma dwa miejsca zerowe: $x_1=2$ oraz $x_2=-2$.

Fragment wykresu funkcji $f\left(x\right)=x^2-4$ przedstawiony jest na rysunku.

R1bBDJffU2x7X1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus trzech do trzech oraz z pionową osią Y od minus pięciu do dwóch. Na płaszczyźnie narysowano parabolę o ramionach skierowanych do góry i wierzchołku w punkcie $\left(0;-4\right)$. Miejsca zerowe paraboli znajdują się w punktach: $\left(-2;0\right)$ oraz <math?2;0. Miejsca zerowe wyróżniono zamalowanymi punktami.

• $g\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x-2\right)$.

Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych.

Rozwiązujemy równanie $g\left(x\right)=0$, a zatem $\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x-2\right)=0$, skąd $x-1=0$ lub $x+1=0$ lub $x-2=0$. Wynika z tego, że funkcja $g$ ma $3$ miejsca zerowe: $x_1=1$, $x_2=-1$ oraz $x_3=2$.

Fragment wykresu funkcji $g\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x-2\right)$ przedstawiony jest na rysunku.

R1b9RPrQetMLp1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus dwóch do trzech oraz z pionową osią Y od minus dwóch do trzech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji wielomianowej. Krzywa ta składa się z trzech części: w pierwszej części funkcja jest rosnąca. Krzywa biegnie od minus nieskończoności do wierzchołka znajdującego się mniej więcej w punkcie $\left(-\frac{1}{5};2\frac{1}{5}\right)$, następnie w drugiej części funkcja jest malejąca i przecina oś Y w punkcie $\left(0;2\right)$ i maleje mniej więcej do punktu $\left(\frac{3}{2};-\frac{1}{2}\right)$, po czym w trzeciej części funkcja rośnie. Na rysunku wyróżniono za pomocą zamalowanych punktów trzy miejsca zerowe: $\left(-1;0\right)$, $\left(1;0\right)$ oraz $\left(2;0\right)$.

• $t\left(x\right)=\frac{x^2-1}{x+1}$.

Dziedziną funkcji $t$ jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyjątkiem liczby $-1$.

Zauważmy, że dla $x\ne -1$ funkcję $t$ można zapisać w postaci
$t\left(x\right)=\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{x+1}=x-1$. Jedynym miejscem zerowym funkcji $t$ jest zatem $x=1$.

Fragment wykresu funkcji $t\left(x\right)=\frac{x^2-1}{x+1}$ przedstawiony jest na rysunku.

RQ6BodMe2jTBZ1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus trzech do czterech oraz z pionową osią Y od minus trzech do czterech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji t będący ukośną prostą, z której wyjęto jeden punkt zaznaczony niezamalowanym kółkiem o współrzędnych $\left(-1;-2\right)$. Prosta przebiega między innymi przez punkty $\left(0;-1\right)$ i przez wyróżniony zamalowanym kółkiem punkt $\left(1;0\right)$. Na płaszczyźnie narysowano także linią przerywaną pionową prostą zadaną wzorem $x=-1$.

• $m\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}-2x-2& \text{dla} -2⩽x<-1\\ 0& \text{dla} -1⩽x⩽1\\ 2x-2& \text{dla} 1<x⩽2\end{array}\right.$.

Dziedziną tej funkcji jest przedział $⟨-2,2⟩$.

Zauważmy, że:

1. Jeżeli $x\in \left.⟨-2,-1\right)$, to $m\left(x\right)=-2x-2$. Rozwiązujemy równanie $m\left(x\right)=0$, a zatem $-2x-2=0$, skąd $x=-1$. Ale $-1$ nie należy do przedziału $\left.⟨-2,-1\right)$, zatem w tym przedziale funkcja $m$ nie ma miejsc zerowych;

2. Ponieważ dla $x\in ⟨-1,1⟩$ funkcja $m$ dana jest wzorem $m\left(x\right)=0$, to każda liczba z przedziału $⟨-1,1⟩$ jest miejscem zerowym tej funkcji;

3. Jeżeli $x\in \left(1,2\right.⟩$, to $m\left(x\right)=2x-2$. Rozwiązujemy równanie $m\left(x\right)=0$, a więc $2x-2=0$, skąd $x=1$. Ale $1$ nie należy do przedziału $\left(1,2\right.⟩$, zatem w tym przedziale funkcja $m$ nie ma miejsc zerowych.

A zatem każda liczba rzeczywista z przedziału $⟨-1,1⟩$ jest miejscem zerowym funkcji $m$. Funkcja $m$ ma nieskończenie wiele miejsc zerowych.

Cały wykres funkcji $m$ przedstawiony jest na rysunku.

R1ERfpT7KQjQ01

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus dwóch do czterech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji m składającej się z trzech odcinków. Od lewej mamy: pierwszy ukośny odcinek o końcach w zamalowanych punktach $\left(-2;2\right)$ i $\left(-1;0\right)$, następną składową wykresu jest poziomy odcinek o końcach w zamalowanych punktach $\left(-1;0\right)$ i $\left(1;0\right)$. Trzecią składową wykresu jest ukośny odcinek o końcach w zamalowanych punktach $\left(1;0\right)$ i $\left(2;2\right)$.

Funkcja $f$ każdej liczbie rzeczywistej dodatniej przyporządkowuje liczbę o $30\%$ od niej mniejszą. Obliczymy, dla jakiego argumentu funkcja $f$ przyjmuje wartość $14$.

Oznaczmy taką liczbę rzeczywistą przez $x$. Przyporządkowanie opisane w treści zadania zapisujemy wzorem $f\left(x\right)=x-30\%x=x-0,3x=0,7x$. Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich.

Szukamy argumentu, dla którego $f\left(x\right)=14$, a więc $0,7x=14$, skąd $x=\frac{14}{0,7}=20$.

Jedynym argumentem, dla którego funkcja $f$ przyjmuje wartość $14$, jest $x=20$.

Wyznaczymy wszystkie argumenty, dla których funkcja $g\left(x\right)=\frac{x^2-4x}{2}$ przyjmuje wartość $-2$.

Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych.

Rozwiązujemy równanie $g\left(x\right)=-2$

$\frac{x^2-4x}{2}=-2$

$x^2-4x=-4$

$x^2-4x+4=0$.

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy. Wtedy ${\left(x-2\right)}^2=0$,

czyli $x-2=0$, a zatem $x=2$.

Wobec tego funkcja $g\left(x\right)=\frac{x^2-4x}{2}$ przyjmuje wartość $-2$ tylko wtedy, gdy $x=2$.

Wyznaczymy wszystkie argumenty, dla których funkcja $k\left(x\right)=\frac{2}{x+1}$ przyjmuje wartość $\frac{1}{3}$.

Najpierw ustalimy dziedzinę funkcji $k$. Jest to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych różnych od $-1$.

Rozwiązujemy równanie $k\left(x\right)=\frac{1}{3}$

$\frac{2}{x+1}=\frac{1}{3}$.

Z własności proporcji $x+1=2·3$,

czyli $x=5$.

A zatem funkcja $k\left(x\right)=\frac{2}{x+1}$ przyjmuje wartość $\frac{1}{3}$ tylko wtedy, gdy $x=5$.

Funkcja $P$ każdej dodatniej liczbie rzeczywistej $a$ przyporządkowuje pole trójkąta równobocznego o boku $a$. Obliczymy $a$, dla którego funkcja $P$ osiąga wartość $\sqrt{3}$.

Korzystając ze wzoru na pole trójkąta równobocznego, ustalamy wzór funkcji $P$:

$P\left(a\right)=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$>, dla $a>0$.

Rozwiązujemy równanie $P\left(a\right)=\sqrt{3}$

Ponieważ $a$ jest liczbą dodatnią, to korzystamy z definicji pierwiastka kwadratowego, skąd $a=\sqrt{4}=2$.

A zatem $P$ osiąga wartość $\sqrt{3}$ dla $a=2$.

Funkcje: $a\left(n\right)=n\left(2n-3\right)\left(n-4\right)$ i $b\left(n\right)=-3n^2+1$ określone są na zbiorze dodatnich liczb całkowitych.

• Obliczymy miejsce zerowe funkcji $a$.

Rozwiązujemy równanie $a\left(n\right)=0$, a więc $n\left(2n-3\right)\left(n-4\right)=0$, skąd $n=0$ lub $2n-3=0$ lub $n-4=0$, czyli $n=0$ lub $n=\frac{3}{2}$ lub $n=4$. Spośród tych trzech liczb jedynie $4$ jest liczbą całkowitą dodatnią, a zatem funkcja $a$ ma tylko jedno miejsce zerowe, $n=4$.

• Wyznaczymy wszystkie argumenty, dla których funkcja $b$ przyjmuje wartość $-26$.

Rozwiązujemy równanie $b\left(n\right)=-26$

Ponieważ $n$ jest liczbą dodatnią, to korzystamy z definicji pierwiastka kwadratowego, skąd

Wynika z tego, że funkcja $b$ przyjmuje wartość $-26$ tylko wtedy, gdy $n=3$.

Dana jest funkcja $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll} 4& \text{dla} x⩽-1\\ 2-7x& \text{dla} -1<x⩽3\\ x^2& \text{dla} x>3\end{array}\right.$.

Wyznaczymy wartości funkcji $f$ dla argumentów:

$x=-\sqrt{5}$, $x=-1$, $x=\frac{15}{7}$, $x=4$.

R1QX0qCcqgnsD1

Animacja pokazuje jak obliczyć wartości funkcji f(x) dla podanych argumentów.

Animacja pokazuje jak obliczyć wartości funkcji f(x) dla podanych argumentów.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R1QX0qCcqgnsD

Animacja pokazuje jak obliczyć wartości funkcji f(x) dla podanych argumentów.