Rysowanie i analiza wykresów zależności drogi i prędkości od czasu w ruchu jednostajnie przyspieszonym prostoliniowym

RDIuqm2EfJzSP

Zdjęcie przedstawia skoczka narciarskiego w powietrzu tuż po wyjściu z progu, który przyjmuje pozycję umożliwiającą jak najdalszy skok.

Zależność przyspieszenia od czasu

W ruchu jednostajnie przyspieszonym prostoliniowym wektor przyspieszenia jest stałyiMT8Y5NXq8_d435e112jest stały.

ROjOjRUgxpxKm

Na rysunku przedstawiono układ współrzędnych. Oś pozioma opisana jako t, oś pionowa jako a. Na pewnej wysokości od osi t znajduje się poziomy odcinek, będący wykresem przyspieszenia od czasu.

Zależność prędkości od czasu

Ruch jednostajnie przyspieszony prostoliniowy odbywa się ze stałym przyspieszeniem.

Oznacza to, że w równych ostępach czasu obserwujemy określony, zawsze jednakowy przyrost prędkości poruszającego się ciała. Prędkość końcową obliczamy za pomocą wzoru:

gdzie:
$v_k$ – prędkość końcowa;
$v_0$ – prędkość początkowa;
$a$ – przyspieszenie;
$t$ – czas.

Zależność $v\left(t\right)$ ruchu możemy przedstawić graficznie. Poniżej na jednym rysunku przedstawiono te zależności dla dwóch różnych ruchów bez prędkośći początkowej. Różnią się one kątem nachylenia do osi czasu.

RuHiDQwj7ev7E

Na rysunku przedstawiono układ współrzędnych. Oś pozioma opisana jako t oś pionowa jako v. Z początku układu współrzędnych poprowadzony jest odcinek pod kątem alfa z indeksem dolnym jeden około trzydziestu stopni do dodatniej półosi poziomej. Odcinek ten jest wykresem prędkości od czasu dla pewnej wartości przyspieszenia. Z początku układu współrzędnych poprowadzony jest odcinek pod kątem alfa z indeksem dolnym dwa około sześćdziesięciu stopni do dodatniej półosi poziomej, który jest wykresem prędkości od czasu dla pewnej wartości przyspieszenia większej niż przy pierwszym wykresie.

Im większa jest wartość przyspieszenia (szybszy przyrost prędkości), tym kąt nachylenia wykresu do osi czasu jest większy.

W przypadku, gdy zaczynamy obserwować ciało będące już w ruchu, jego prędkość początkowa jest różna od zera i wykres $v\left(t\right)$ przedstawia się następująco.

RcMSEK55vDYT3

Na rysunku przedstawiono układ współrzędnych. Oś pozioma podpisana jako t, oś pionowa jako v na pewnej wysokości na osi pionowej zaznaczono punkt podpisany v z indeksem dolnym zero z którego pod kątem około 30 stopni do poziomu poprowadzony jest odcinek będący wykresem prędkości od czasu w ruchu jednostajnie przyspieszonym z prędkością początkową.

Polecenie 2

Narysuj w zeszycie wykres zależności prędkości od czasu dla ruchu jednostajnie przyspieszonego prostoliniowego. Przyjmij, że prędkość początkowa $v_0=1\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$. Rozważ kilka wybranych wartości przyspieszenia.

R1Ran9NonXmqt

Opisz jak wygląda wykres zależności prędkości od czasu dla ruchu jednostajnie przyspieszonego prostoliniowego. Przyjmij, że prędkość początkowa $v_0=1\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$. Rozważ kilka wybranych wartości przyspieszenia.

RRe83rNslXDFh

(Uzupełnij).

Pokaż odpowiedź

RHRIiHDR1Deud

Pierwsza ćwiartka układu współrzędnych. Na osi pionowej odłożona prędkość w metrach na sekundę, na osi poziomej czas w sekundach. Ponieważ prędkość początkowa wynosi jeden metr na sekundę, linia wykresu zaczyna się w punkcie zero‑jeden. Ponieważ ruch jednostajnie przyspieszony oznacza zwiększanie się jednostajne prędkości, w miarę upływu czasu prędkość rośnie, czyli wykres przebiega przez coraz wyższe punkty na wykresie.

Droga w ruchu jednostajnie przyspieszonym

Jeśli znamy pole powierzchni figury znajdującej się pod wykresem zależności $v\left(t\right)$, możemy obliczyć drogę, którą przebyło ciało w pewnym przedziale czasowym.

Gdy ciało rozpoczęło ruch ze stanu spoczynku $\left(v_0=0 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)$, to obszar pod wykresem odpowiada polu powierzchni trójkąta.

RkvNBSsGiU5RL

Na rysunku przedstawiono układ współrzędnych. Oś pozioma podpisana jako t, oś pionowa jako v. Z początku układu współrzędnych poprowadzono odcinek pod kątem około 45 stopni od dodatniej półosi poziomej, będący wykresem prędkości od czasu. W pewnej odległości od początku układu współrzędnych na osi poziomej zaznaczono punkt delta t. Pomiędzy osią poziomą wykresem prędkości od czasu zaznaczono obszar będący trójkątem prostokątnym, gdzie kąt prostu znajduje się przy punkcie delta t. Z wierzchołka tego trójkąta leżącego nad punktem delta t na wykresie prędkości od czasu poprowadzono poziomy przerywany odcinek. Punkt przecięcia tego odcinka z osią pionową opisano jako delta v.

Na poniższej animacji zobaczysz, jak wyprowadzić wzór na drogę w ruchu jednostajnie przyspieszonym prostoliniowym.

R17hVrvU8JR3r

Animacja przedstawia wyprowadzenie wzoru na drogę w ruchu jednostajnie przyspieszonym prostoliniowym bez prędkości początkowej.

Animacja przedstawia wyprowadzenie wzoru na drogę w ruchu jednostajnie przyspieszonym prostoliniowym bez prędkości początkowej.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R17hVrvU8JR3r

Animacja przedstawia wyprowadzenie wzoru na drogę w ruchu jednostajnie przyspieszonym prostoliniowym bez prędkości początkowej.

W ruchu jednostajnym prostoliniowym wykres zależności drogi od czasu jest linią prostą nachyloną pod pewnym kątem do osi czasu. Czy tak samo jest w ruchu jednostajnie przyspieszonym?

W ruchu jednostajnym prostoliniowym ciało w równych odstępach czasu ciało pokonuje takie same odcinki drogi – prędkość jego stała. Natomiast w ruchu jednostajnie przyspieszonym prędkość ciała w tych samych przedziałach czasu rośnie, a więc musi wzrastać także długość kolejnych odcinków drogi pokonywanej przez to ciało. Wykres zależności drogi od czasu w ruchu jednostajnie przyspieszonym prostoliniowym bez prędkości początkowej nie jest już linią prostą. Krzywa, która tworzy ten wykres, to część paraboli, tj. wykresu funkcji kwadratowej $y=a·x^2$.

RQQg7SC6aGSbg

Na rysunku przedstawiono układ współrzędnych. Oś pozioma opisana jako t oś pionowa jako s. W początku układu współrzędnych zaczyna się ramie paraboli zwrócone w górę, będące wykresem drogi od czasu.

Skonstruujmy wykres zależności $s\left(t\right)$ dla ruchu jednostajnie przyspieszonego prostoliniowego.

RsvL5l6a4JYfW

Film przedstawiający startującego do lotu ptaka wodnego.

Film przedstawiający startującego do lotu ptaka wodnego.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/RsvL5l6a4JYfW

Film przedstawiający startującego do lotu ptaka wodnego.

Animacja w przejrzysty sposób pokazała, że obliczone długości odcinków pokonywanych w kolejnych sekundach mają się do siebie tak, jak następujące po sobie liczby nieparzyste. W kolejnej animacji zobaczysz jak można to też wykazać w inny sposób.

ciekawostka

Ciekawostka

R1HrFtRvQWerN

Film przedstawiający ciekawostkę dotyczącą wyznaczania drogi.

Film przedstawiający ciekawostkę dotyczącą wyznaczania drogi.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R1HrFtRvQWerN

Film przedstawiający ciekawostkę dotyczącą wyznaczania drogi.

Zapamiętaj!

W ruchu jednostajnie przyspieszonym prostoliniowym przyrosty przebytej drogi w kolejnych sekundach ruchu mają się do siebie tak, jak następujące po sobie liczby nieparzyste.

Podsumowanie

• Wykresem zależności przyspieszenia od czasu jest linia prosta równoległa do osi czasu. Jest tak, ponieważ w ruchu jednostajnie przyspieszonym prostoliniowym wartość przyspieszenia jest stała.

  ROjOjRUgxpxKm

  Na rysunku przedstawiono układ współrzędnych. Oś pozioma opisana jako t, oś pionowa jako a. Na pewnej wysokości od osi t znajduje się poziomy odcinek, będący wykresem przyspieszenia od czasu.

  

• Pole powierzchni zawarte pod wykresem zależności prędkości od czasu w ruchu jednostajnie przyspieszonym prostoliniowym jest równe drodze, którą przebyło ciało w określonym czasie.

  R1HanikxjjqUT

  Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Pozioma oś oznaczona jest jako t, pionowa jako v. Na płaszczyźnie narysowano wykres prędkości od czasu, który jest ukośnym odcinkiem o pewnej długości nachylonym pod kątem ostrym do osi t, który zaczepiony jest w punkcie v z indeksem dolnym zero znajdującym się na dodatniej półosi o v. Z końca tego odcinka poprowadzono przerywany odcinek prostopadły do osi poziomej. W punkcie przecięcia się ukośnego odcinka z osią pionową ma swój lewy koniec poziomy odcinek, którego prawy koniec wyznacza pionowy przerywany odcinek. W ten sposób otrzymaliśmy wyznaczony przez ukośny odcinek, pionowy przerywany odcinek i osie trapez prostokątny, który poziomy odcinek podzielił na trójkąt prostokątny o poziomej przyprostokątnej będącej poziomym odcinkiem, pionowej przyprostokątnej złożonej z narysowanego przerywaną linią odcinka od jego przecięcia z poziomym odcinkiem do przecięcia z ukośnym odcinkiem. Wewnątrz trójkąta zapisano wzór s z indeksem dolnym dwa równa się ułamek, w liczniku a razy t kwadrat, w mianowniku dwa. Pod trójkątem znajduje się prostokąt mający wspólny bok z trójkątem. Bok ten to poziomy odcinek. Pionowy bok prostokąta ma długość v z indeksem dolnym 0. Wewnątrz prostokąta umieszczono wzór: s z indeksem dolnym jeden równa się v z indeksem dolnym zero razy t.

  

• Jeśli ciało przed rozpoczęciem ruchu znajdowało się w stanie spoczynku $\left(v_0=0 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)$ i porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym prostoliniowym, drogę oblicza się za pomocą wzoru:

  $$s=\frac{1}{2}·a·t^2$$

  gdzie:
  $s\left[\mathrm{m}\right]$ – droga;
  $a\left[\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}\right]$ – przyspieszenie;
  $t\left[\mathrm{s}\right]$ – czas ruchu ciała.

• W ruchu jednostajnie przyspieszonym prostoliniowym przyrosty przebytej drogi w kolejnych sekundach ruchu mają się do siebie tak, jak następujące po sobie liczby nieparzyste.

Polecenie 4

Ciało porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym prostoliniowym z przyspieszeniem $2 \frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}$, w przedziale czasu od $0$ do $10 \mathrm{s}$. Wartość prędkości początkowej wynosiła $v_0=0 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$.

Narysuj wykres zależności drogi od czasu dla tego ciała.

R17TyT5XCxCo8

Opisz wykres zależności drogi od czasu dla tego ciała.

R1LKB5yC2TJGR

(Uzupełnij).

Pokaż odpowiedź

RgR69kn15y25e

Na rysunku przedstawiono układ współrzędnych. Oś pozioma podpisana jako t w sekundach oś pionowa jako s  w metrach. Z początku układu współrzędnych wychodzi ramię paraboli skierowane w górę będące wykresem drogi od czasu, na osi poziomej zaznaczono punkty 5 i 10 i poprowadzono z nich pionowe przerywane odcinki których koniec jest w punkcie przecięcia z wykresem drogi od czasu. Z punktu przecięcia wykresu drogi od czasu poprowadzono poziome przerywane odcinki mające swój koniec w punkcie przecięcia z osią pionową. Punktu te odpowiadają odpowiednio wartości 25 dla 5 na osi poziomej i 100 dla wartości 10 na osi poziomej.

Polecenie 5

Ciało porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem $10 \frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}$ w przedziale czasu od $0$ do $8 \mathrm{s}$.

Narysuj wykres zależności prędkości od czasu dla tego ciała. Na podstawie otrzymanego wykresu oblicz drogę przebytą przez to ciało w przedziale czasu od $2$ do $5 \mathrm{s}$.

RhDXsO2HpKha3

Opisz wykres zależności prędkości od czasu dla tego ciała. Oblicz drogę przebytą przez to ciało w przedziale czasu od $2$ do $5 \mathrm{s}$.

RkuH1A7VU5l19

(Uzupełnij).

Pokaż odpowiedź

RMUIivjG1OVjU

Na rysunku przedstawiono układ współrzędnych. Oś pozioma podpisana jako t w sekundach i wyskalowana od zera do ośmiu co jeden. Oś pionowa podpisana jako v w metrach na sekundę i wyskalowana od zera do osiemdziesięciu co dziesięć. W początku układu współrzędnych ma swój początek odcinek, którego koniec jest w punkcie o współrzędnych 8 przecinek 80. Jest on wykresem prędkości od czasu. Koniec tego odcinka zrzutowano przerywanymi liniami na osie pionową i poziomą. Poprowadzono pionowy przerywany odcinek z punktu o wartości pięć na osi poziomej którego koniec jest w punkcie przecięcia z wykresem prędkości od czasu. Poprowadzono pionowy odcinek z punktu o wartości dwa na osi poziomej którego koniec jest w punkcie przecięcia z wykresem prędkości od czasu. Zamalowano obszar pomiędzy dwoma pionowymi przerywanymi odcinkami, wykresem prędkości od czasu i osią poziomą, który jest trapezem.

$s=105 \mathrm{m}$

Polecenie 6

Ciało poruszało się przez $10$ sekund z przyspieszeniem o wartości $1 \frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}$, a jego prędkość początkowa wynosiła $2 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$.

Narysuj wykres zależności wartości prędkości od czasu dla ciała.

1. Wiesz, że pole pod wykresem $v\left(t\right)$ jest równe drodze przebytej przez ciało. Zaznacz na wykresie drogę, jaką przebyłoby ciało, gdyby jego prędkość była równa prędkości początkowej równej $2 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$, oraz drogę, jaką przebyło ono dzięki wzrostowi wartości prędkości.

2. Jaki kształt ma pole pod wykresem? Jak je obliczyć?

R15sR5DlhM0ng

Opisz, jak wygląda wykres zależności wartości prędkości od czasu dla ciała.

1. Wiesz, że pole pod wykresem $v\left(t\right)$ jest równe drodze przebytej przez ciało. Zastanów się, jaką drogę przebyłoby ciało, gdyby jego prędkość była równa prędkości początkowej, równej $2 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$, oraz drogę, jaką przebyło ono dzięki wzrostowi wartości prędkości.

2. Jaki kształt ma pole pod wykresem? Jak je obliczyć?

R1Wq2s5pKMYVR

(Uzupełnij).

Pokaż odpowiedź

a.

R1Q5CwanshJ29

Na rysunku przedstawiono układ współrzędnych. Oś pozioma opisana jako t w sekundach wyskalowana od zera do dwunastu co jeden, oś pionowa jako v w metrach na sekundę wyskalowana od zera do dwanaście co jeden. Z punktu o współrzędnych dwa przecinek zero poprowadzono odcinek do punktu o współrzędnych dziesięć przecinek dwanaście, który jest wykresem prędkości od czasu. Z punku o współrzędnych zero przecinek dwa poprowadzono poziomy odcinek do punktu o współrzędnych dziesięć przecinek dwa. Odcinek ten dzieli obszar ograniczony przez wykres drogi od czasu i oś poziomą na prostokąt i trójkąt. Jednym bokiem prostokąta jest oś pozioma, drugim oś pionowa, a trzecim odcinek, który jest podpisany droga przebyta ze stałą prędkością dwa metry na sekundę. Wierzchołkami trójkąta są: punkt o współrzędnych zero przecinek dwa, punkt o współrzędnych dziesięć przecinek dwa oraz punkt o współrzędnych dziesięć przecinek dwanaście. Trójkąt ten jest podpisany: droga przebyta dzięki wzrostowi prędkości.

b. Pole pod wykresem ma kształt trapezu prostokątnego. Możemy je obliczyć stosując wzór na pole tego trapezu: $P=\frac{\left(a+b\right)·h}{2}$.

Zadania