Monotoniczność funkcji - Zintegrowana Platforma Edukacyjna

W tym materiale dowiesz się o jakich funkcjach mówimy, że są rosnące, malejące, stałe, a o jakich że są monotoniczne przedziałami. Nauczysz się odczytywać z wykresu funkcji przedziały monotoniczności funkcji. Po zapoznaniu się z tym materiałem możesz sprawdzić swoją wiedzę rozwiązując zadania zawarte w materiałach Określanie monotoniczności funkcji na podstawie jej wykresu - ćwiczenia. Część ID1NGM6io8Określanie monotoniczności funkcji na podstawie jej wykresu - ćwiczenia. Część I oraz Określanie monotoniczności funkcji na podstawie jej wykresu - ćwiczenia. Część IIDmxz1CGSNOkreślanie monotoniczności funkcji na podstawie jej wykresu - ćwiczenia. Część II.

Przykład 1

Obserwuj, jak przy zmianie argumentów zmieniają się wartości funkcji, o której mówimy, że jest funkcją rosnącą.

Zapoznaj się z opisem apletu. Zwróć uwagę, jak przy zmianie argumentów zmieniają się wartości funkcji, o której mówimy, że jest funkcją rosnącą.

R1Naxz6YsULv01

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 2

Obserwuj, jak przy zmianie argumentów zmieniają się wartości funkcji, o której mówimy, że jest funkcją malejącą.

Zapoznaj się z opisem apletu. Zwróć uwagę, jak przy zmianie argumentów zmieniają się wartości funkcji, o której mówimy, że jest funkcją malejącą.

RGJ67JQGsN1UU1

Przykład 3

Obserwuj, jak przy zmianie argumentów zmieniają się wartości funkcji, o której mówimy, że jest funkcją nierosnącą.

Zapoznaj się z opisem apletu. Zwróć uwagę, jak przy zmianie argumentów zmieniają się wartości funkcji, o której mówimy, że jest funkcją nierosnąca.

Rab55H18pniXX1

Przykład 4

Obserwuj, jak przy zmianie argumentów zmieniają się wartości funkcji, o której mówimy, że jest funkcją niemalejącą.

Zapoznaj się z opisem apletu. Zwróć uwagę, jak przy zmianie argumentów zmieniają się wartości funkcji, o której mówimy, że jest funkcją niemalejąca.

R1Txo5EpyyZD01

Każdą z czterech prezentowanych w powyższych przykładach funkcji nazywać będziemy funkcją monotoniczną.

Funkcja rosnąca

Definicja: Funkcja rosnąca

Funkcja $f$ jest określona w przedziale $⟨a, b⟩$ .

Jeżeli dla dowolnych $x_{1}, x_{2} \in ⟨a, b⟩$ takich, że $x_{1} < x_{2}$ spełniony jest warunek:

f (x_{1}) < f (x_{2})

to mówimy, że funkcja $f$ jest rosnąca w przedziale $⟨a, b⟩$ .

Funkcja malejąca

Definicja: Funkcja malejąca

Funkcja $f$ jest określona w przedziale $⟨a, b⟩$ .
Jeżeli dla dowolnych $x_{1}, x_{2} \in ⟨a, b⟩$ takich, że $x_{1} < x_{2}$ spełniony jest warunek:

f (x_{1}) > f (x_{2})

to mówimy, że funkcja $f$ jest malejąca w przedziale $⟨a, b⟩$ .

RaXZr8NL8AVcC1

Funkcja stała

Definicja: Funkcja stała

Jeżeli dla dowolnych $x_{1}, x_{2} \in ⟨a, b⟩$ takich, że $x_{1} < x_{2}$ spełniony jest warunek:

f (x_{1}) = f (x_{2})

to funkcję $f$ nazywamy stałą w przedziale $⟨a, b⟩$ .

Rg1pCOzZp4g5p1

Funkcja niemalejąca

Definicja: Funkcja niemalejąca

Jeżeli dla dowolnych $x_{1}, x_{2} \in ⟨a, b⟩$ takich, że $x_{1} < x_{2}$ spełniony jest warunek:

f (x_{1}) ⩽ f (x_{2})

To mówimy, że funkcja $f$ jest niemalejąca w przedziale $⟨a, b⟩$ .

Funkcja nierosnąca

Definicja: Funkcja nierosnąca

Jeżeli dla dowolnych $x_{1}, x_{2} \in ⟨a, b⟩$ takich, że $x_{1} < x_{2}$ spełniony jest warunek:

f (x_{1}) ⩾ f (x_{2})

to mówimy, że funkcja $f$ jest nierosnąca w przedziale $⟨a, b⟩$ .

Funkcja monotoniczna przedziałami

Definicja: Funkcja monotoniczna przedziałami

Jeśli funkcja ma dziedzinę, którą można podzielić na rozłączne przedziały tak, aby w każdym z nich funkcja ta była monotoniczna, to powiemy o tej funkcji, że jest ona monotoniczna przedziałami.

Przykład 5

R5iFjYWmcjIMd1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do pięciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do dwóch. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji składający się z trzech odcinków. Odcinek pierwszy jest ukośny i ma końce w zamalowanych punktach -4;-1 i -1;-2. Drugi odcinek jest ukośny i ma końce w zamalowanych punktach -1;-2 i 2;1. Trzeci odcinek jest poziomy i ma końce w zamalowanych punktach 2;1 i 5;1. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Z wykresu funkcji $f$ odczytamy na przykład, że:

w przedziale $(0, 1⟩$ funkcja $f$ jest rosnąca,
w przedziale $(3, 4)$ funkcja $f$ jest stała,
w przedziale $⟨- 3, - 2)$ funkcja $f$ jest malejąca.

Zauważmy jednak, że:

przedział $⟨- 1, 2⟩$ jest maksymalnym przedziałem, w którym funkcja $f$ jest rosnąca,
przedział $⟨2, 5⟩$ jest maksymalnym przedziałem, w którym funkcja $f$ jest stała,
przedział $⟨- 4, - 1⟩$ jest maksymalnym przedziałem, w którym funkcja $f$ jest malejąca,
przedział $⟨- 1, 5⟩$ jest maksymalnym przedziałem, w którym funkcja $f$ jest niemalejąca.

Funkcja $f$ jest monotoniczna przedziałami, ale nie jest monotoniczna w całym przedziale $⟨- 4, 5⟩$ .