Przesunięcia wykresu wzdłuż osi układu współrzędnych
Wykres funkcji
Zajmiemy się teraz funkcjami opisanymi takim samym wzorem jak proporcjonalność odwrotna, czyli , ale określonymi dla dowolnej liczby . Przyjmiemy, że współczynnik . Przy jest nieokreślona dla , więc jej dziedziną jest .
Zastanówmy się, jak wygląda wykres funkcji opisującej proporcjonalność odwrotną.
Przykład 1
Narysuj wykres funkcji , gdy .
R1Ektta2amw1S1
Animacja prezentuje rysowanie wykresu funkcji y = 1 dzielone przez x. Zmieniając wartości argumentów x zmieniają się wartości funkcji f, co ilustruje wykres zwany hiperbolą. Hiperbola leży w pierwszej i trzeciej ćwiartce układu współrzędnych. Zaznaczone są asymptota pionowa y =0 oraz asymptota pozioma x =0.
Animacja prezentuje rysowanie wykresu funkcji y = 1 dzielone przez x. Zmieniając wartości argumentów x zmieniają się wartości funkcji f, co ilustruje wykres zwany hiperbolą. Hiperbola leży w pierwszej i trzeciej ćwiartce układu współrzędnych. Zaznaczone są asymptota pionowa y =0 oraz asymptota pozioma x =0.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Otrzymany wykres nazywamy hiperbolą. Hiperbola składa się z dwóch ramion położonych symetrycznie względem punktu . Charakterystyczne dla tego wykresu jest to, że każde z jego ramion zbliża się do osi układu współrzędnych, ale w żadnym punkcie nie przecina ani osi , ani . Przyjrzymy się innym własnościom funkcji .
Przykład 2
Odczytaj z wykresu własności funkcji .
Rs1P9IhRSPfIt1
Wykres funkcji f(x) = 1 dzielone przez x.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ramiona hiperboli leżą w i ćwiartce układu współrzędnych.
Funkcja jest określona dla wszystkich (wykres funkcji nie przecina osi ).
Zbiorem wartości jest przedział .
Funkcja nie ma miejsc zerowych (wykres funkcji nie ma punktów wspólnych z osią ).
Funkcja jest malejąca w każdym z przedziałów oraz .
Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów z przedziału oraz wartości ujemne dla argumentów z przedziału .
Przykład 3
Korzystając z wykresu funkcji , narysuj wykres funkcji .
RKa2CB1hyqq101
Animacja przedstawia hiperbolę f (x) = 1 przez x oraz hiperbolę g(x) = -1 dzielone przez x, symetryczną do niej względem osi OX. Hiperbola f(x) leży w pierwszej i trzeciej ćwiartce układu współrzędnych, a hiperbola g(x) leży w drugiej i czwartej ćwiartce.
Animacja przedstawia hiperbolę f (x) = 1 przez x oraz hiperbolę g(x) = -1 dzielone przez x, symetryczną do niej względem osi OX. Hiperbola f(x) leży w pierwszej i trzeciej ćwiartce układu współrzędnych, a hiperbola g(x) leży w drugiej i czwartej ćwiartce.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Zauważmy, że , zatem wystarczy przekształcić hiperbolę symetrycznie względem osi .
RVgOL0WbzCR8x1
Wykres hiperboli f (x) = 1 dzielone przez x oraz hiperboli g(x) = -1 przez x, symetrycznej do niej względem osi OX.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Odczytamy z wykresu własności funkcji .
Ramiona hiperboli leżą w i ćwiartce układu współrzędnych.
Funkcja jest określona dla wszystkich (wykres funkcji nie przecina osi ).
Zbiorem wartości jest przedział .
Funkcja nie ma miejsc zerowych (wykres funkcji nie ma punktów wspólnych z osią ).
Funkcja jest rosnąca w każdym z przedziałów oraz .
Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów z przedziału oraz wartości ujemne dla argumentów z przedziału.
itIav9LEIk_d5e179
Przykład 4
R1Z8Txd2xk7wR1
Animacja prezentuje wykres funkcji y = a dzielone przez x w zależności od współczynnika a. Dla a >0 hiperbola leży w pierwszej i trzeciej ćwiartce układu współrzędnych. Dla a <0 hiperbola leży w drugiej i czwartej ćwiartce układu współrzędnych. Następnie zmieniając wartość współczynnika a tworzymy prostokąty w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych tak, że dwa boki pokrywają się z osiami. Wierzchołki prostokątów nie leżące na osiach tworzą hiperbolę. Zauważamy, że pole każdego prostokąta jest równe danej wartości współczynnika a.
Animacja prezentuje wykres funkcji y = a dzielone przez x w zależności od współczynnika a. Dla a >0 hiperbola leży w pierwszej i trzeciej ćwiartce układu współrzędnych. Dla a <0 hiperbola leży w drugiej i czwartej ćwiartce układu współrzędnych. Następnie zmieniając wartość współczynnika a tworzymy prostokąty w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych tak, że dwa boki pokrywają się z osiami. Wierzchołki prostokątów nie leżące na osiach tworzą hiperbolę. Zauważamy, że pole każdego prostokąta jest równe danej wartości współczynnika a.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Przykład 5
Narysuj wykres . Odczytaj z wykresu najmniejszą wartość funkcji w przedziale
R1GKGUHkScgcM1
Wykres funkcji f(x) = 4 dzielone przez x leżącej w pierwszej i trzeciej ćwiartce układu współrzędnych.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Odpowiedź. Najmniejsza wartość funkcji w przedziale jest równa .
Przykład 6
Punkt leży na wykresie proporcjonalności odwrotnej . Wyznacz wartość współczynnika . Z tego, że punkt leży na wykresie , wynika, że , czyli .
Przykład 7
Narysuj wykres funkcji . Odczytaj z wykresu, dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości mniejsze od .
RwQGSbceggbkb1
Wykres funkcji f(x) = -3 dzielone przez x leżącej w drugiej i czwartej ćwiartce układu współrzędnych.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Odpowiedź. Funkcja przyjmuje wartości mniejsze od dla argumentów z przedziału .
A
Ćwiczenie 1
RluH7tdP3wOZg1
Zadanie interaktywne
Zadanie interaktywne
Połącz w pary wzór hiperboli z punktem, który do niej należy.
<span aria-label="nawias, minus, trzy, przecinek, minus, jeden zamknięcie nawiasu" role="math"><math><mo>(</mo><mo>-</mo><mn>3</mn><mo>,</mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></math></span>, <span aria-label="nawias zero kropka zero zamknięcie nawiasu" role="math"><math><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></math></span>, <span aria-label="nawias, minus, jeden kropka jeden zamknięcie nawiasu" role="math"><math><mo>(</mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></math></span>, <span aria-label="nawias dwa kropka zero zamknięcie nawiasu" role="math"><math><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></math></span>
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.