Narysuj wykres funkcji $y=\frac{1}{x}$, gdy $x\ne 0$.

R1Ektta2amw1S1

Animacja prezentuje rysowanie wykresu funkcji y = 1 dzielone przez x. Zmieniając wartości argumentów x zmieniają się wartości funkcji f, co ilustruje wykres zwany hiperbolą. Hiperbola leży w pierwszej i trzeciej ćwiartce układu współrzędnych. Zaznaczone są asymptota pionowa y =0 oraz asymptota pozioma x =0.

Animacja prezentuje rysowanie wykresu funkcji y = 1 dzielone przez x. Zmieniając wartości argumentów x zmieniają się wartości funkcji f, co ilustruje wykres zwany hiperbolą. Hiperbola leży w pierwszej i trzeciej ćwiartce układu współrzędnych. Zaznaczone są asymptota pionowa y =0 oraz asymptota pozioma x =0.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DMjeeayJi

Otrzymany wykres nazywamy hiperbolą. Hiperbola składa się z dwóch ramion położonych symetrycznie względem punktu $\left(\mathrm{0,0}\right)$. Charakterystyczne dla tego wykresu jest to, że każde z jego ramion zbliża się do osi układu współrzędnych, ale w żadnym punkcie nie przecina ani osi $\mathrm{Ox}$, ani $\mathrm{Oy}$.
Przyjrzymy się innym własnościom funkcji $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$.

Odczytaj z wykresu własności funkcji $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$.

Rs1P9IhRSPfIt1

Wykres funkcji f(x) = 1 dzielone przez x.

• Ramiona hiperboli leżą w $I$ i $\mathrm{III}$ ćwiartce układu współrzędnych.

• Funkcja $f$ jest określona dla wszystkich $x\ne 0$ (wykres funkcji nie przecina osi $\mathrm{Oy}$).

• Zbiorem wartości jest przedział $\left(-\infty ,0\right)\cup \left(0,+\infty \right)$.

• Funkcja $f$ nie ma miejsc zerowych (wykres funkcji nie ma punktów wspólnych z osią $\mathrm{Ox}$).

• Funkcja $f$ jest malejąca w każdym z przedziałów $\left(-\infty ,0\right)$ oraz $\left(0,+\infty \right)$.

• Funkcja $f$ przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów z przedziału $\left(0,+\infty \right)$ oraz wartości ujemne dla argumentów z przedziału $\left(-\infty ,0\right)$.

Korzystając z wykresu funkcji $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$, narysuj wykres funkcji $g\left(x\right)=-\frac{1}{x}$.

RKa2CB1hyqq101

Animacja przedstawia hiperbolę f (x) = 1 przez x oraz hiperbolę g(x) = -1 dzielone przez x, symetryczną do niej względem osi OX. Hiperbola f(x) leży w pierwszej i trzeciej ćwiartce układu współrzędnych, a hiperbola g(x) leży w drugiej i czwartej ćwiartce.

Animacja przedstawia hiperbolę f (x) = 1 przez x oraz hiperbolę g(x) = -1 dzielone przez x, symetryczną do niej względem osi OX. Hiperbola f(x) leży w pierwszej i trzeciej ćwiartce układu współrzędnych, a hiperbola g(x) leży w drugiej i czwartej ćwiartce.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DMjeeayJi

Zauważmy, że $g\left(x\right)=-f\left(x\right)$, zatem wystarczy przekształcić hiperbolę $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$ symetrycznie względem osi $\mathrm{Ox}$.

RVgOL0WbzCR8x1

Wykres hiperboli f (x) = 1 dzielone przez x oraz hiperboli g(x) = -1 przez x, symetrycznej do niej względem osi OX.

Odczytamy z wykresu własności funkcji $g\left(x\right)=-\frac{1}{x}$.

• Ramiona hiperboli leżą w $\mathrm{II}$ i $\mathrm{IV}$ ćwiartce układu współrzędnych.

• Funkcja $g$ jest określona dla wszystkich $x\ne 0$ (wykres funkcji nie przecina osi $\mathrm{Oy}$).

• Zbiorem wartości jest przedział $\left(-\infty ,0\right)\cup \left(0,+\infty \right)$.

• Funkcja $g$ nie ma miejsc zerowych (wykres funkcji nie ma punktów wspólnych z osią $\mathrm{Ox}$).

• Funkcja $g$ jest rosnąca w każdym z przedziałów $\left(-\infty ,0\right)$ oraz $\left(0,+\infty \right)$.

• Funkcja $g$ przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów z przedziału $\left(-\infty ,0\right)$ oraz wartości ujemne dla argumentów z przedziału$\left(0,+\infty \right)$.

Narysuj wykres $f\left(x\right)=\frac{4}{x}$. Odczytaj z wykresu najmniejszą wartość funkcji w przedziale $\left(0,1⟩\right.$

R1GKGUHkScgcM1

Wykres funkcji f(x) = 4 dzielone przez x leżącej w pierwszej i trzeciej ćwiartce układu współrzędnych.

Odpowiedź. Najmniejsza wartość funkcji $f\left(x\right)=\frac{4}{x}$ w przedziale $\left(0,1⟩\right.$ jest równa $4$.

Punkt $P=(3,-2)$ leży na wykresie proporcjonalności odwrotnej $f\left(x\right)=\frac{a}{x}$. Wyznacz wartość współczynnika $a$.
Z tego, że punkt $P=\left(3,-2\right)$ leży na wykresie $f\left(x\right)=\frac{a}{x}$, wynika, że $-2=\frac{a}{3}$, czyli $a=-6$.

Narysuj wykres funkcji $f\left(x\right)=-\frac{3}{x}$. Odczytaj z wykresu, dla jakich argumentów funkcja $f$ przyjmuje wartości mniejsze od $–3$.

RwQGSbceggbkb1

Wykres funkcji f(x) = -3 dzielone przez x leżącej w drugiej i czwartej ćwiartce układu współrzędnych.

Odpowiedź. Funkcja $f\left(x\right)=-\frac{3}{x}$ przyjmuje wartości mniejsze od $-3$ dla argumentów z przedziału $\left(\mathrm{0,1})\right.$.