Przeczytaj
Na początku przeanalizujemy własności okręgu opisanego na trójkącie.
Wykorzystując własności kątów wpisanych udowodnimy, że pole trójkąta o bokach długości , , wpisanego w okrąg o promieniu wyraża się wzorem:
Rozwiązanie
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:
Trójkąt o bokach długości , , jest wpisany w okrąg o środku i promieniu . Odcinek jest wysokością trójkąta, a odcinek jest średnicą okręgu. Kąty oraz są kątami wpisanymi, opartymi na tym samym łuku, zatem mają takie same miary. Stąd trójkąty i są podobne, czyli: , zatem .
Warto przypomnieć wzór Herona, który pozwala obliczyć pole dowolnego trójkąta, gdy znamy długości wszystkich jego boków.
Jeżeli są długościami boków trójkąta oraz , to pole trójkąta możemy obliczyć ze wzoru:
Obliczymy pole trójkąta wpisanego w okrąg,trójkąta wpisanego w okrąg, którego boki są długości: , i , wiedząc, że promień tego okręgu jest równy .
Rozwiązanie
sposób:
Korzystając ze wzoru , otrzymujemy:
sposób:
Korzystając ze wzoru Herona najpierw obliczymy .
Zatem pole tego trójkąta jest równe:
.
Obliczymy długość promienia okręgu opisanego na trójkąciepromienia okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym o podstawie i ramieniu długości .
Rozwiązanie
Sprawdzimy jakim trójkątem jest trójkąt o podanych długościach, by poprawnie wykonać rysunek pomocniczy:
, zatem jest to trójkąt ostrokątny, środek okręgu opisanego na nim leży wewnątrz trójkąta.
sposób:
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczymy wysokość trójkąta opuszczoną na podstawę:
Możemy już obliczyć pole tego trójkąta
Przekształcając poznany wzór , obliczymy długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie
sposób:
Zauważmy, że mamy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych , oraz przeciwprostokątnej .
Stosując twierdzenie Pitagorasa otrzymujemy
Przypomnimy teraz:
W dowolnym trójkącie stosunki długości boków do sinusów przeciwległych kątów są równe długości średnicy okręgu opisanego na tym trójkącie:
Obliczymy długość promienia okręgu opisanego na trójkąciepromienia okręgu opisanego na trójkącie, w którym jeden z boków ma długość , a przeciwległy do niego kąt ma miarę .
Rozwiązanie
Korzystając z twierdzenia sinusów wiemy, że stosunek długości boku do sinusa kąta leżącego naprzeciw jest równy długości średnicy okręgu opisanego na tym trójkącie, zatem
Stąd .
Obliczymy długość promienia okręgu opisanego na trójkąciepromienia okręgu opisanego na trójkącie o kątach i oraz boku przy tych kątach długości .
Rozwiązanie
Suma kątów wewnętrznych w trójkącie wynosi .
Zatem miara trzeciego kąta wynosi .
Naprzeciw kąta o mierze leży bok długości .
Zatem:
Z powyższego wynika, że .
Dwa boki trójkąta wpisanego w okrąg o promieniu długości mają długości i . Obliczymy długość trzeciego boku tego trójkąta.
Rozwiązanie
Niech będzie kątem leżącym naprzeciw boku , zaś – długością szukanego boku.
Z twierdzenia sinusów:
.
Stąd: , co daje: .
Z twierdzenia cosinusów:
lub
W trójkącie kąt przy wierzchołku jest ostry. Długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie jest równa oraz , . Na boku wybrano taki punkt D, że . Obliczymy długość odcinka .
Rozwiązanie
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:
Zastosujemy twierdzenie sinusów w trójkącie :
Zatem: .
Wyznaczymy wartość cosinusa kąta :
lub .
Ponieważ , to .
Stosujemy twierdzenie cosinusów do trójkąta :
Jeżeli nie zostanie podane, że jest inaczej, przyjmujemy, że boki trójkąta o długości: , , leżą odpowiednio naprzeciw kątów: , , .
Słownik
trójkąt jest wpisany w okrąg, gdy wszystkie jego wierzchołki leżą na okręgu; mówimy wówczas, że okrąg jest opisany na trójkącie; promień takiego okręgu oznaczamy przez
jest to długość odcinka łączącego środek tego okręgu z dowolnym wierzchołkiem trójkąta, oznaczamy go przez