Wyznaczymy równanie obrazu okręgu o równaniu ${\left(x+4\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=4$ w symetrii środkowejsymetria środkowa względem punktu $C$symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych.

Rozwiązanie

Środek tego okręgu ma współrzędne $\left(-4, 3\right)$. Obrazem tego środka w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych jest punkt o współrzędnych będących liczbami przeciwnymi do danych, czyli $\left(4, -3\right)$. Równanie okręgu symetrycznego ma zatem postać: ${\left(x-4\right)}^2+{\left(y+3\right)}^2=4$.

RMnYIT9x9ok9Z

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 12 do 12 i pionowa osią y od minus 6 do sześć. Środek układu zaznaczono zamalowanym punktem. W drugiej ćwiartce układu zaznaczono okrąg o  równaniu $\mathrm{c}:{\left(\mathrm{x}+4\right)}^2+{\left(\mathrm{y}-3\right)}^2=4$ i środku w punkcie nawias minus cztery średnik trzy zamknięcie nawiasu. W czwartej ćwiartce również znajduje się okrąg, jest on podpisany: $\mathrm{c}\text{'}:{\left(\mathrm{x}-4\right)}^2+{\left(\mathrm{y}+3\right)}^2=4$, jego środek ma współrzędne nawias cztery średnik minus trzy zamknięcie nawiasu.

Wyznaczymy równanie obrazu okręgu o równaniu $x^2+y^2+2x-10y+10=0$ w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych.

Rozwiązanie

Wyznaczymy najpierw współrzędne środka tego okręgu i długość jego promienia. Korzystamy z równania ogólnego okręgurównanie ogólne okręgurównania ogólnego okręgu: $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$:

$\left\{\begin{array}{l}-2a=2\\ -2b=-10\\ c=10\\ r=\sqrt{a^2+b^2-c}\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=5\\ c=10\\ r=\sqrt{1^2+5^2-10}=\sqrt{16}=4\end{array}\right.$

Zatem środkiem danego okręgu jest punkt $S=\left(-1; 5\right)$ a jego promień ma długość $r=4$.

Obrazem środka $S$ w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych jest zatem punkt o współrzędnych $\left(1; -5\right)$. Równanie okręgu symetrycznego ma zatem postać: ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y+5\right)}^2=16$.

Do okręgu $o$ należą punkty $A=\left(0, -1\right)$; $B=\left(-4, 3\right)$; $C=\left(-3, 0\right)$. Wyznaczymy równanie obrazu tego okręgu w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych.

Rozwiązanie

Wyznaczymy współrzędne środka $\left(a;b\right)$ tego okręgu i długość jego promienia $r$. Ponieważ punkty $A$, $B$ i $C$ należą do okręgu, to:

$\left\{\begin{array}{l}{\left(0-a\right)}^2+{\left(-1-b\right)}^2=r^2 \left(1\right)\\ {\left(-4-a\right)}^2+{\left(3-b\right)}^2=r^2 \left(2\right)\\ {\left(-3-a\right)}^2+{\left(0-b\right)}^2=r^2 \left(3\right)\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{c}{a}^2+1+2b+b^2=r^2 \left(1\right)\\ 16+8a+a^2+9-6b+b^2=r^2 \left(2\right)\\ 9+6a+a^2+b^2=r^2 \left(3\right)\end{array}\right.$

Odejmujemy stronami równania $\left(1\right)$ i $\left(3\right)$:

$1+2b-9-6a=0$

$2b=6a+8$

$b=3a+4 \left(4\right)$

Odejmujemy stronami równania $\left(2\right)$ i $\left(3\right)$:

$25+8a-6b-9-6a=0$

$2a-6b=-16$

$a-3b=-8 \left(5\right)$

Podstawiamy równanie $\left(4\right)$ do równania $\left(5\right)$:

$a-3·\left(3a+4\right)=-8$

$a-9a-12=-8$

$-8a=4$

$a=-\frac{1}{2}$

Zatem:

$b=\frac{5}{2}$

Środek okręgu w symetrii względem początku układu współrzędnych ma współrzędne: $\left(\frac{1}{2}, -\frac{5}{2}\right)$.

Wyznaczamy kwadrat długości jego promienia, korzystając z równania $\left(1\right)$:

$r^2={\left(-\frac{1}{2}\right)}^2+1+2·\frac{5}{2}+{\left(\frac{5}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}+6+\frac{25}{4}=\frac{50}{4}=\frac{25}{2}$

Równanie obrazu okręgu ma postać: ${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(y+\frac{5}{2}\right)}^2=\frac{25}{2}$.

Okrąg o równaniu ${\left(x+8\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2=3$ przekształcamy najpierw przez symetrię środkową względem początku układu współrzędnych, a następnie przez symetrię środkową względem punktu $C=\left(1, 2\right)$. Wyznaczymy równanie obrazu tego okręgu po obydwu przekształceniach.

Rozwiązanie

Środek okręgu ma współrzędne $S=\left(-8, -2\right)$, zatem obraz środka tego okręgu w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych ma współrzędne $S\text{'}=\left(8, 2\right)$.

Wyznaczymy teraz współrzędne punktu $S\text{'}$ w symetrii względem punktu $C=\left(1, 2\right)$. Ponieważ

$\left\{\begin{array}{l}x\text{'}=2k-x\\ y\text{'}=2h-y\end{array}\right.$

więc

$\left\{\begin{array}{l}x\text{'}=2·1-8\\ y\text{'}=2·2-2\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x\text{'}=-6\\ y\text{'}=2\end{array}\right.$

Zatem równanie okręgu ma postać:

${\left(x+6\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=3$.

Punkt $P\text{'}=\left(2, 4\right)$ jest obrazem punktu $P=\left(-6, 8\right)$ w symetrii środkowej względem punktu $C$. Wyznaczymy równanie ogólne obrazu okręgu o środku w punkcie $C$ i promieniu długości $r=\sqrt{2}-1$ w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych.

Rozwiązanie

Wyznaczymy najpierw współrzędne punktu $C$.

$\left\{\begin{array}{l}2=2k-\left(-6\right)\\ 4=2h-8\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}2=2k+6\\ 12=2h\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}-4=2k\\ h=6\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}k=-2\\ h=6\end{array}\right.$

Zatem środkiem okręgu jest punkt $C=\left(-2, 6\right)$.

Obrazem punktu $C$ w symetrii względem początku układu współrzędnych jest punkt $C\text{'}=\left(2, -6\right)$.

Wyznaczamy równanie ogólne okręgu o środku w punkcie $C\text{'}$ i promieniu długości $r=\sqrt{2}-1$:

${\left(x-2\right)}^2+{\left(y+6\right)}^2={\left(\sqrt{2}-1\right)}^2$

$x^2-4x+4+y^2+12y+36=2-2\sqrt{2}+1$

$x^2+y^2-4x+12y+37+2\sqrt{2}=0$

przekształcenie geometryczne, w którym obrazem każdego punktu $A$, $A\ne C$, jest taki punkt $A\text{'}$, dla którego punkt $C$ jest środkiem odcinka $AA\text{'}$

równanie ogólne okręgu o środku w punkcie $S=\left(a, b\right)$ i promieniu długości $r$: