Przekształcanie wzorów

Przekształcanie wzorów polega na wyznaczaniu niewiadomej w zależności od innych zmiennych występujących w tych wzorach. Ma to zastosowanie przy wyznaczaniu potrzebnych niewiadomych ze wzorów matematycznych, fizycznych, chemicznych.

Już wiesz

R11r7rO3P7Ki31

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Gdy niewiadoma, którą chcemy wyznaczyć występuje w kilku miejscach i nie możemy dokonać redukcji wyrazów podobnych, należy szukaną zmienną wyłączyć przed nawias.
Przypomnijmy, jak poprawnie wykonać potrzebne działania.

Już wiesz

R1Jt6xusyOyHJ1

Ćwiczenie 1

Z podanego wzoru wyznacz niewiadomą $x$ .

$3 x - 5 = 2 x + 2 a$ …
$\sqrt{9} - x = 1 - 5 a$ …
$x - 5 y + z = {- 4}^{0} y$ …
$a + 2 ab + 2 x = 2^{3} b + 3 x$ …

$x = 2 a + 5$
$x = 2 + 5 a$
$x = 4 y - z$
$x = a + 2 ab - 8 b$

Ćwiczenie 2

Połącz opis z odpowiednim wzorem i wyznacz $a$ .

wzór na wysokość w trójkącie równobocznym
wzór na pole trójkąta równobocznego
wzór na pole dowolnego trójkąta
wzór na pole trapezu
wzór na pole kwadratu
$h = \frac{a \sqrt{3}}{2}$
$P = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$
$P = \frac{a ∙ h}{2}$
$P = \frac{a + b}{2} ∙ h$
$P = a^{2}$

$- a), a = \frac{2 h}{\sqrt{3}}$
$- b), a = \sqrt{\frac{4 P}{\sqrt{3}}}$
$- c), a = \frac{2 P}{h}$
$- d), a = \frac{2 P}{h} - b$
$- e), a = \sqrt{P}$

Ćwiczenie 3

Z podanego wzoru wyznaczono zmienną $x$ . Uzupełnij wykropkowane miejsca tak, aby wzór był poprawny. Przyjmij, że wszystkie zmienne są różne od zera.

$2 cx + 2 a = c - cx$ , $x = \frac{c - 2 a}{\dots}$
$4 vx - 5 v + 1 = v (2 x - v)$ , $x = \frac{- v^{2} + 5 v + \dots}{2 v}$
$2 ab - ax + \sqrt[3]{8} b = 3 a (2 x + 3 a b)$ , $x = \frac{- 9 a^{2} b + 2 ab + \dots}{7}$
$3 (px - p) + 2 pq = 2 p (3 q + 2 x - p) + 1$ , $x = \frac{2 p^{2} - 3 p - 4 pq - 1}{\dots}$

$3 c$
$- 1$
$2 b$
$p$

Ćwiczenie 4

Z podanego wzoru wyznacz wskazane zmienne. Wszystkie zmienne są liczbami dodatnimi.

$\frac{a}{b} = \frac{2 c}{d}, c$ i $d$
$\frac{\sqrt[3]{27} a}{2 b} = \frac{2^{3} c}{d}, c$ i $d$
$\frac{a + 3^{0}}{b} = \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{c}, b$ i $c$
$\frac{a}{b + 1} = \frac{3 c}{d + \sqrt{4}}, a$ i $c$

$c = \frac{ad}{2 b}, d = \frac{2 bc}{a}$
$c = \frac{3 ad}{16 b}, d = \frac{16 bc}{a 3}$
$b = \frac{(a + 1) c}{2}, c = \frac{2 b}{a + 1}$
$a = \frac{3 c (b + 1)}{d + 2}, c = \frac{a (d + 2)}{3 (b + 1)}$

Ćwiczenie 5

Z podanego wzoru wyznacz zmienną $x$ .

$p (x + 2 a) = 3 x + 1$
$z = \frac{2 x}{v} + 2 x$
$v = \frac{x}{x + 1} + 1$
$\frac{a}{z} - 1 = z + \frac{1}{x}$

$x = \frac{1 - 2 pa}{p - 3}$
$x = \frac{zv}{2 + 2 v}$
$x = \frac{1 - v}{v - 2}$
$x = \frac{z}{a - z - z^{2}}$

classicmobile

Ćwiczenie 6

Jeżeli $v = \frac{s}{t}$ ( $s > 0, v > 0, t > 0)$ , to

RJ91ZS6c8j1hl

$s = v ∙ t$
$s = \frac{t}{v}$
$s = \frac{v}{t}$
$s = v - t$

static

Ćwiczenie 6

Jeżeli $v = \frac{s}{t}$ ( $s > 0, v > 0, t > 0)$ , to

R1SE1TH0iYSsF

$s = v ∙ t$
$s = \frac{t}{v}$
$s = \frac{v}{t}$
$s = v - t$

iKwYW0gmVr_d5e459

classicmobile

Ćwiczenie 7

Po wyznaczeniu $t$ ze wzoru $s = \frac{a ∙ t^{2}}{2}$ otrzymamy

RTyqpiGp9jJCL

$t = \frac{\sqrt{2 s}}{a}$
$t = \sqrt{\frac{s}{2 a}}$
$t = \sqrt{\frac{2 s}{a}}$
$t = \frac{\sqrt{s}}{2 a}$

static

Ćwiczenie 7

Po wyznaczeniu $t$ ze wzoru $s = \frac{a ∙ t^{2}}{2}$ otrzymamy

R19xGd1Gzenw0

$t = \frac{\sqrt{2 s}}{a}$
$t = \sqrt{\frac{s}{2 a}}$
$t = \sqrt{\frac{2 s}{a}}$
$t = \frac{\sqrt{s}}{2 a}$

classicmobile

Ćwiczenie 8

Zapisz wzór na podstawę $a$ trójkąta, którego pole wynosi $4 p + 3$ , a wysokość $2 h$ .

R1FBMJh5oaK72

$a = \frac{4 p + 3}{2 h}$
$a = \frac{4 p + 3}{h}$
$a = \frac{4 p}{h} + 3$
$a = \frac{p}{4 h} + 3$

static

Ćwiczenie 8

Zapisz wzór na podstawę $a$ trójkąta, którego pole wynosi $4 p + 3$ , a wysokość $2 h$ .

RYhuW3x94Aetl

$a = \frac{4 p + 3}{2 h}$
$a = \frac{4 p + 3}{h}$
$a = \frac{4 p}{h} + 3$
$a = \frac{p}{4 h} + 3$

Ćwiczenie 9

Wyznacz długość $x$ dłuższej podstawy trapezu o polu $2 p$ , jeżeli wysokość trapezu wynosi $2 h$ , a krótsza podstawa ma długość $3 z$ .

$x = \frac{2 p}{h} - 3 z$

Ćwiczenie 10

Z podanych wzorów wyznacz wskazane zmienne. Wszystkie zmienne są liczbami dodatnimi.

$P = ab + ah + bh, a, h$
$P = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} + 2 a ∙ h, h$
$V = \frac{1}{3} a^{2} ∙ H, a, H$
$V = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} ∙ H, a, H$

$a = \frac{P - bh}{b + h}$ $b \neq - h, h = \frac{P - ab}{a + b}$ $a \neq - b$
$h = \frac{P - \frac{a^{2 \sqrt{3}}}{4}}{2 a}$
$a = \sqrt{\frac{3 V}{H},} H = \frac{3 V}{a^{2}}$
$a = \sqrt{\frac{4 V}{\sqrt{3} H}}, H = \frac{4 V}{a^{2} \sqrt{3}}$

classicmobile

Ćwiczenie 11

Dany jest wzór $\frac{1}{R} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} R > 0$ i $R_{1} > 0$ i $R_{2} > 0$ .
Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

Rw5YXrplsZwHR

Wyznaczając ze wzoru $R$ , otrzymamy $R = \frac{R_{1} ∙ R_{2}}{R_{1} + R_{2}}$ .
Wyznaczając ze wzoru $R_{1}$ , otrzymamy $R_{1} = \frac{R ∙ R_{2}}{R + R_{2}}$ .
Wyznaczając ze wzoru $R_{1}$ , otrzymamy $R_{1} = \frac{R ∙ R_{2}}{R_{2} - R}$ .
Wyznaczając ze wzoru $R_{2}$ , otrzymamy $R_{2} = \frac{R ∙ R_{1}}{R - R_{1}}$ .

static

Ćwiczenie 11

Dany jest wzór $\frac{1}{R} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} R > 0$ i $R_{1} > 0$ i $R_{2} > 0$ .
Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

REBkdfglYNe9P

Wyznaczając ze wzoru $R$ , otrzymamy $R = \frac{R_{1} ∙ R_{2}}{R_{1} + R_{2}}$ .
Wyznaczając ze wzoru $R_{1}$ , otrzymamy $R_{1} = \frac{R ∙ R_{2}}{R + R_{2}}$ .
Wyznaczając ze wzoru $R_{1}$ , otrzymamy $R_{1} = \frac{R ∙ R_{2}}{R_{2} - R}$ .
Wyznaczając ze wzoru $R_{2}$ , otrzymamy $R_{2} = \frac{R ∙ R_{1}}{R - R_{1}}$ .

Ćwiczenie 12

Uszereguj równości w odpowiedniej kolejności, tak aby ze wzoru wyznaczyć $a$ . Błędne zapisy przenieś do drugiego zbioru.

$15 a = - 8 b - 8 c$
$3 (a + 2 b) + 6 c = 12 a - 2 (b + c)$
$- 9 a = - 8 b - 8 c$
$3 a + 6 b + 6 c = 12 a - 2 b - 2 c$
$3 a - 12 a = - 2 b - 6 b - 2 c - 6 c$
$\frac{a + 2 b}{2} + c = 2 a - \frac{b + c}{3}$
$3 a + 12 a = - 2 b - 6 b - 2 c - 6 c$
$a = \frac{8 b + 8 c}{15}$
$a = \frac{8 b + 8 c}{9}$
$3 (a + 2 b) + c = 12 a - 2 (b + c)$
$3 a + 6 b + 6 c = 12 a - 2 b + 2 c$

$\frac{a + 2 b}{2} + c = 2 a - \frac{b + c}{3}$
$3 (a + 2 b) + 6 c = 12 a - 2 (b + c)$
$3 (a + 2 b) + c = 12 a - 2 (b + c)$
$3 a + 6 b + 6 c = 12 a - 2 b - 2 c$
$3 a + 6 b + 6 c = 12 a - 2 b + 2 c$
$3 a - 12 a = - 2 b - 6 b - 2 c - 6 c$
$3 a + 12 a = - 2 b - 6 b - 2 c - 6 c$
$- 9 a = - 8 b - 8 c$
$15 a = - 8 b - 8 c$

$a = \frac{8 b + 8 c}{15}$

Tabela. Dane
poprawne zapisy	błędne zapisy
$\frac{a + 2 b}{2} + c = 2 a - \frac{b + c}{3}$ $3 (a + 2 b) + 6 c = 12 a - 2 (b + c)$ $3 a + 6 b + 6 c = 12 a - 2 b - 2 c$ $3 a - 12 a = - 2 b - 6 b - 2 c - 6 c$ $- 9 a = - 8 b - 8 c$ $a = \frac{8 b + 8 c}{9}$	$3 (a + 2 b) + c = 12 a - 2 (b + c)$ $3 a + 6 b + 6 c = 12 a - 2 b + 2 c$ $3 a + 12 a = - 2 b - 6 b - 2 c - 6 c$ $15 a = - 8 b - 8 c$ $a = \frac{8 b + 8 c}{9}$

Ćwiczenie 13

Sprawdź, czy wyznaczając $b$ ze wzoru $d = \frac{1 - \frac{ab}{c}}{a + b}$ , otrzymasz wzór $b = \frac{1 - ad}{\frac{1}{c} (a + cd)}$ .
Podaj konieczne założenia.

tak
$c \neq 0$
$a \neq - b$
$cd \neq - a$

Rozwiązywanie zadań tekstowych z zastosowaniem równań

Układ równań z dwiema niewiadomymi – opisywanie związków między wielkościami za pomocą równań