Przesunięcie wykresu funkcji o wektor - zadania

Porównując wykresy funkcji $f$ i $g$, zauważamy, że aby otrzymać wykres funkcji $g$, należy wykres funkcji $f$ przesunąć o $2$ jednostki wzdłuż osi $X$ i $1$ jednostkę wzdłuż osi $Y$.

$g\left(x\right)=f\left(x-3\right)+\left(-2\right)$, czyli $f\left(x\right)={\left(x-3\right)}^2-2$

Ponieważ $g\left(x\right)=2x-3=2\left(x-2\right)+1=f\left(x-2\right)+1$, to przykładowym przekształceniem jest przesunięcie o $2$ jednostki wzdłuż osi $X$ i o $1$ jednostkę wzdłuż osi $Y$.

Ponieważ $g\left(x\right)=x^2-2x=\left(x^2-2x+1\right)-1={\left(x-1\right)}^2-1=f\left(x-1\right)-1$, to szukanym przekształceniem jest przesunięcie o $1$ jednostkę wzdłuż osi $X$ i o $\left(-1\right)$ jednostkę wzdłuż osi $Y$.

Wiemy, że w każdym równoległoboku pary boków leżące na przeciwko siebie są równoległe. Oznacza to, że jego bok $AB$ musi być równoległy do jego boku $CD$.

Wierzchołek $B$ tego równoległoboku jest przesunięty względem wierzchołka $A$ o $5$ jednostek wzdłuż osi $X$ i $2$ jednostki wzdłuż osi $Y$. Punkt $D$ jest lewym końcem boku $CD$, więc musi być przesunięty o $-5$ jednostek wzdłuż osi $X$ i $-2$ jednostki wzdłuż osi $Y$ względem punktu $C$.

Sprawdź, czy punkt $B$ jest tak samo przesunięty względem punktu $A$, jak punkt $C$ jest przesunięty względem punktu $D$.

W każdym przypadku zastanów się w jaki sposób zmieni się położenie wykresu funkcji względem bazowej funkcji $f\left(x\right)$.

• $y=f\left(x\right)+2$

R11ToPAqcK9Y21

Wykres otrzymany w wyniku przesunięcia funkcji f o 2 jednostki w górę wzdłuż osi OY jest rozwiązaniem zadania podpunkt a. Do wykresu należą punkty o współrzędnych (-3, 0), (-1, 0), (0, 2), (1, 4), (4, 4).

Przesunięcie wykresu funkcji $f$ o dwie jednostki w górę.

• $y=f\left(x\right)-2$

RKLOyCFcYgj5U1

Wykres otrzymany w wyniku przesunięcia funkcji f o 2 jednostki w dół wzdłuż osi OY jest rozwiązaniem zadania podpunkt b. Do wykresu należą punkty o współrzędnych (-3. -4), (-1, -4), (0, -2), (1, 0), (4, 0).

Przesunięcie wykresu funkcji $f$ o dwie jednostki w dół.

• $y=f\left(x-2\right)$

RzaCA9hpQXBi11

Wykres otrzymany w wyniku przesunięcia funkcji f o 2 jednostki w prawo wzdłuż osi OX jest rozwiązaniem podpunkt c. Do wykresu należą punkty o współrzędnych (-1, -2), (0, 2), (1, -2), (3, 2), (6, 2).

Przesunięcie wykresu funkcji $f$ o dwie jednostki w prawo.

• $y=f\left(x+2\right)$

R14y01Arn9mBo1

Wykres otrzymany w wyniku przesunięcia funkcji f o 2 jednostki w lewo wzdłuż osi OX jest rozwiązaniem zadania podpunkt d. Do wykresu należą punkty o współrzędnych (-5, -2), (-3, -2), (-2, 0), (-1, 2), (2, 2).

Przesunięcie wykresu funkcji $f$ o dwie jednostki w lewo.

W każdym przypadku zastanów się w jaki sposób zmieni się położenie wykresu funkcji względem bazowej funkcji $f\left(x\right)$.

Zauważ, że każda z funkcji jest pewnym przekształceniem funkcji $f\left(x\right)$. Zastanów się jak będą wyglądały wykresy rozważanych funkcji, w szczególności zastanów się w ilu punktach będą one przecinały oś $X$. Zwróć uwagę na to, że nie każde przekształcenie funkcji będzie miało wpływ na ilość jej miejsc zerowych.

Zauważ o jakie wektory przesunięte są poszczególne funkcje. Każdy punkt istotny dla wykresu funkcji przesuń o ten wektor.

• $g=f\left(x-1\right)+2$

  R1MXyDSqEwLhY1

  Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus dwóch do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji g składający się z dwóch ukośnych odcinków i kawałka paraboli. Od lewej mamy odcinek o końcach w zamalowanych punktach $\left(-2;4\right)$ oraz $\left(-1;5\right)$. Z prawego końca odcinka biegnie w dół kawałek paraboli określonej wzorem $y={\left(x-1\right)}^2+1$, której ramiona skierowane są w górę, a jej wierzchołek znajduje się w punkcie $\left(1;1\right)$. Jej prawe ramię ma koniec w punkcie $\left(3;5\right)$. Z tego punktu poprowadzono drugi odcinek o prawym końcu w punkcie $\left(4;4\right)$.

  

• $h=f\left(x+2\right)-1$

  RBOasC14uYStz1

  Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus dwóch do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji h składający się z dwóch ukośnych odcinków i kawałka paraboli. Od lewej mamy odcinek o końcach w zamalowanych punktach $\left(-5;1\right)$ oraz $\left(-4;2\right)$. Z prawego końca odcinka biegnie w dół kawałek paraboli określonej wzorem $y={\left(x+2\right)}^2-2$, której ramiona skierowane są w górę, a jej wierzchołek znajduje się w punkcie $\left(-2;-2\right)$. Jej prawe ramię ma koniec w punkcie $\left(0;2\right)$. Z tego punktu poprowadzono drugi odcinek o prawym końcu w punkcie $\left(1;1\right)$.

  

Zwróć uwagę w jaki sposób przesunięte między sobą są wykresy funkcji względem funkcji $f\left(x\right)$. Wywnioskuj o jaki wektor przesunięto wykresy, a następnie dopasuj wzór funkcji do odpowiednich rysunków.

1. Na rysunku nie znajduje się żadna z podanych funkcji.

2. $y=h\left(x\right)$

3. $y=g\left(x\right)$

4. $y=k\left(x\right)$

Zauważ o jakie wektory przesunięta jest podana funkcja. Zapisz wzór każdej funkcji korzystając z odpowiednich własności.