Powtórzenie podstawowych pojęć z potęg, pierwiastków, planimetrii, stereometrii oraz funkcji.

• Iloczyn potęg o takich samych podstawach

Dla dowolnej liczby rzeczywistej $a\ne 0$ i dowolnych liczb całkowitych $n$ i $m$ prawdziwa jest równość

RyRYwL0vSRlMa1

Animacja przedstawia zasady mnożenia potęg o tych samych podstawach.

Animacja przedstawia zasady mnożenia potęg o tych samych podstawach.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/RyRYwL0vSRlMa

Animacja przedstawia zasady mnożenia potęg o tych samych podstawach.

• Iloraz potęg o takich samych podstawach

Dla dowolnej liczby rzeczywistej $a\ne 0$ i dowolnych liczb całkowitych $n$ i $m$ prawdziwa jest równość

R4PxchW8p5pfJ1

Animacja przedstawia zasady dzielenia potęg o tych samych podstawach.

Animacja przedstawia zasady dzielenia potęg o tych samych podstawach.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R4PxchW8p5pfJ

Animacja przedstawia zasady dzielenia potęg o tych samych podstawach.

• Iloczyn potęg o takich samych wykładnikach

Dla dowolnych liczb rzeczywistych $a\ne 0$ i  $b\ne 0$ i dowolnej liczby całkowitej $n$ prawdziwa jest równość

RjQIQZ0A4MtG61

Animacja przedstawia zasady mnożenia potęg o tych samych wykładnikach.

Animacja przedstawia zasady mnożenia potęg o tych samych wykładnikach.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/RjQIQZ0A4MtG6

Animacja przedstawia zasady mnożenia potęg o tych samych wykładnikach.

• Iloraz potęg o takich samych wykładnikach

Dla dowolnych liczb rzeczywistych $a\ne 0$ i  $b\ne 0$ i dowolnej liczby całkowitej $n$ prawdziwa jest równość

R1QX490lhpUZf1

Animacja przedstawia zasady dzielenia potęg o tych samych wykładnikach.

Animacja przedstawia zasady dzielenia potęg o tych samych wykładnikach.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R1QX490lhpUZf

Animacja przedstawia zasady dzielenia potęg o tych samych wykładnikach.

• Potęga potęgi

Dla dowolnej liczby $a\ne 0$ i dowolnych liczb całkowitych $n$ i $m$ prawdziwa jest równość

RnPMHqEo9qKCx1

Animacja przedstawia zasady potęgowania potęg.

Animacja przedstawia zasady potęgowania potęg.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/RnPMHqEo9qKCx

Animacja przedstawia zasady potęgowania potęg.

Pierwiastkiem kwadratowym z liczby nieujemnej $a$ nazywamy taką liczbę nieujemną $b$, której kwadrat jest równy liczbie $a$. Pierwiastek ten oznaczamy symbolem $\sqrt{a}$.
Pierwiastek kwadratowy nazywany jest również pierwiastkiem stopnia drugiego.
Mówimy, że liczba $a$ w wyrażeniu $\sqrt{a}$ to liczba podpierwiastkowa.

• Pierwiastkiem sześciennym z liczby $a$ nazywamy taką liczbę $b$, której sześcian jest równy liczbie $a$. Pierwiastek ten oznaczamy symbolem $\sqrt[3]{a}$.

• Pierwiastek sześcienny nazywany jest również pierwiastkiem stopnia trzeciego.

• $\sqrt[3]{a}=b$ wtedy i tylko wtedy, gdy $b^3=a$.

Dla dowolnej liczby $a$ zachodzi równość $\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}$.

Na przykład

czyli

• Funkcją $f$ ze zbioru $X$ w zbiór $Y$ nazywamy przyporządkowanie, w którym każdemu elementowi zbioru $X$ przyporządkowany jest dokładnie jeden element zbioru $Y$.

Zbiór $X$ nazywamy dziedziną funkcji, a jego elementy argumentami funkcji.

Zbiór $Y$ nazywamy przeciwdziedziną funkcji, a każdy element $y$ tego zbioru, który został przyporządkowany co najmniej jednemu argumentowi $x$, nazywamy wartością funkcji $f$ dla argumentu $x$, co zapisujemy symbolicznie $y=f\left(x\right)$.

Symbolicznie funkcję $f$ określoną w zbiorze $X$ o wartościach w zbiorze $Y$ zapisujemy w postaci

Zbiór złożony ze wszystkich elementów, które są wartościami funkcji $f$ dla wszystkich argumentów dziedziny, nazywamy zbiorem wartości funkcji $f$ i oznaczamy $ZW$.

Miejscem zerowym funkcji nazywamy każdy argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość $0$.

Zbiorem miejsc zerowych nazywamy zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartość $0$.

Funkcję nazywamy malejącą, jeżeli wraz ze wzrostem argumentów maleją wartości funkcji.

Funkcję nazywamy rosnącą, jeżeli wraz ze wzrostem argumentów rosną wartości funkcji.

Funkcję nazywamy stałą, jeżeli wraz ze wzrostem argumentów wartość funkcji pozostaje stała.

Każdemu punktowi $P$ zaznaczonemu w układzie współrzędnych odpowiada uporządkowana para liczb $\left(x,y\right)$ nazywanych jego współrzędnymi.

Zapisujemy:

RtPNB1skilN3c1

Zapis: P = (x, y). Pierwsza współrzędna x to odcięta punktu P. Druga współrzędna y to rzędna punktu P.

Graniastosłup prosty to taka figura przestrzenna, która ma

• dwie podstawy będące jednakowymi wielokątami,

• ściany boczne będące prostokątami.

Nazwa graniastosłupa zależy od rodzaju wielokąta w podstawie.

RstTFBnLNF93i1

Rysunek graniastosłupa prostego trójkątnego, graniastosłupa prostego czworokątnego i graniastosłupa prostego sześciokątnego.

Przekątną prostopadłościanu nazywamy odcinek łączący dwa wierzchołki prostopadłościanu leżące na różnych podstawach i różnych ścianach bocznych.

RUaOjm0f0kZo51

Rysunek dwóch prostopadłościanów. Na każdym z nich zaznaczono odcinek łączący dwa wierzchołki prostopadłościanu leżące na różnych podstawach i różnych ścianach bocznych. Taki odcinek nazywamy przekątną prostopadłościanu.

Jednomianem nazywamy wyrażenie algebraiczne, które jest liczbą, literą lub iloczynem liczb i liter.

Równaniem nazywamy równość dwóch wyrażeń algebraicznych, przy czym przynajmniej w jednym z tych wyrażeń występuje co najmniej jedna zmienna, zwana niewiadomą.

Na przykład:

Ostrosłup prosty nazywamy prawidłowym, gdy jego podstawą jest wielokąt foremny.

Ściany boczne takiego ostrosłupa są przystającymi trójkątami równoramiennymi.

RFUGRqyb3MRYr1

Rysunek ostrosłupa prawidłowego czworokątnego i ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego. W obu poprowadzona wysokość.

Ostrosłup nazywamy prostym, gdy jego wszystkie krawędzie boczne są równe. W przeciwnym razie – ostrosłup nazywamy pochyłym. Ściany boczne ostrosłupa prostego są trójkątami równoramiennymi.

Rild64VTCy7Yx1

Rysunek ostrosłupa pochyłego i ostrosłupa prostego. W obu poprowadzona jest wysokość H. W ostrosłupie pochyłym wysokość bryły pada poza podstawą, na prostej wyznaczonej przez jeden z boków podstawy..

Czworościan to ostrosłup trójkątny. Czworościan ma $4$ wierzchołki i $6$ krawędzi. Jeżeli wszystkie ściany czworościanu są trójkątami równobocznymi, to czworościan nazywamy czworościanem foremnym.

Pole $P$ trójkąta o wysokości $h$ poprowadzonej do podstawy długości $a$ jest równe $P=\frac{a·h}{2}$.

R10dVLWMtkAOe1

Rysunek trójkąta o wysokości h poprowadzonej do podstawy długości a. Pole takiego trójkąta możemy obliczyć ze wzoru $P=\frac{a·h}{2}$.

Pole trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości $a$ i $b$ jest równe $P=\frac{a·b}{2}$.

R1HaEJupJ9A9L1

Rysunek trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości a i b. Pole takiego trójkąta możemy obliczyć ze wzoru $P=\frac{a·b}{2}$.

Pole trójkąta równobocznego o boku długości $a$ jest równe $P=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$.

RRB7v95H87dIb1

Rysunek trójkąta równobocznego o boku a. Pole takiego trójkąta możemy obliczyć ze wzoru $P=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$.

Niech liczby $a$, $b$, $c$, gdzie $c>a$ i $c>b$ będą długościami boków trójkąta.

• Trójkąt ten jest prostokątny wtedy i tylko wtedy, gdy $a^2+b^2=c^2$.

• Trójkąt ten jest ostrokątny wtedy i tylko wtedy, gdy $a^2+b^2>c^2$.

• Trójkąt ten jest rozwartokątny wtedy i tylko wtedy, gdy $a^2+b^2<c^2$.

Jeżeli suma kwadratów długości dwóch boków trójkąta jest równa kwadratowi długości trzeciego boku, to trójkąt ten jest prostokątny.

Jeżeli $a$ i $b$ są długościami przyprostokątnych, zaś $c$ długością przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym, to zachodzi związek

RmsKOMQBKsvqd1

Rysunek trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych a i b oraz przeciwprostokątnej c.

Wielokąt jest wklęsły, jeżeli co najmniej jeden z jego kątów ma miarę większą od $180°$. Wielokąt, który nie jest wklęsły, to wielokąt wypukły.

Jeżeli odcinek łączący dwa dowolne punkty w wielokącie jest całkowicie w nim zawarty, to taki wielokąt nazywamy wypukłym.

Pole sześciokąta foremnego o boku długości $a$ jest równe