Tworzenie gry interaktywnej - ułamki zwykłe

Scena w programie Scratch ma 480 pikseli szerokości i 360 pikseli wysokości. Weź pod uwagę jej wymiary podczas planowania długości boku pojedynczego kwadratu i innych niezbędnych komponentów.

Przykładowe rozplanowanie sceny: długość boku kwadratu wynosi $40$ pikseli, górną połowę sceny przeznaczamy na reprezentację ułamka, dolną dla duszka zadającego pytanie i podającego informację o poprawności udzielonej odpowiedzi. Pozostawiając odstępy od krawędzi sceny o szerokości $20$ pikseli można maksymalnie narysować $44$ kwadraty ($4$ rzędy po $11$ kwadratów). Duszek może więc losować mianownik w zakresie od $2$ do maksymalnej liczby kwadratów (czyli $44$), a licznik od $1$ do wylosowanej wartości mianownika minus $1$.

Jeden z kwadratów może być niezamalowany, natomiast drugi - zamalowany. Narysowanie pierwszego z nich nie powinno sprawić problemu, ponieważ zostało opisane w poprzednich materiałach dotyczących wykorzystania Scratcha. Jak poradzić sobie z zamalowanym kwadratem?

Scratch dostarcza wielu poleceń do efektów graficznych, zatem duszek może rysować kwadraty.

1. Niezamalowany kwadrat

RYAP0h936SORF

Na ilustracji, po prawej stronie, widoczny jest kot a obok niego kwadrat. Po stronie lewej widoczny jest ciąg bloczków. Pierwszy bloczek z napisem "kiedy klawisz k naciśnięty". Pod nim znajdują się bloczki "wyczyść wszystko" oraz "przyłóż pisak". Niżej bloczek "powtórz 4 razy", który zapętla się do kolejnych bloczków "przesuń o 100 kroków" i "obróć o 90 stopni". Poniżej bloczek "podnieś pisak". Ostatni bloczek to "zatrzymaj ten skrypt".

2. Zamalowany kwadrat

Niestety, nie ma jednak polecenia pozwalającego na zamalowanie figur ani rysowanie zamalowanych figur. Brak tej funkcjonalności można obejść poprzez stworzenie zamalowanego kwadratu z odpowiedniej liczby odcinków, choć jest to rozwiązanie mało wygodne i powolne.

RKQtck1IVstYJ

Na ilustracji, po prawej stronie, widoczny jest kot na zamalowanym na niebiesko kwadracie. Po stronie lewej widoczny jest ciąg bloczków. Pierwszy bloczek z napisem "kiedy klawisz k naciśnięty". Pod nim bloczek z napisem "ustaw bok kwadratu na 100". Poniżej znajdują się bloczki "wyczyść wszystko" oraz "przyłóż pisak". Niżej bloczek "przesuń o bok kwadratu kroków". Dalej bloczek "obróć o 90 stopni". Następny jest bloczek "powtórz bok kwadratu razy", który zapętla się do kolejnych bloczków "powtórz 2 razy", w którym jest następna pętla "przesuń o bok kwadratu kroków" oraz "obróć o 90 stopni". Poniżej ponownie w pierwszej pętli bloczek "zmień bok kwadratu o -1". Ostatni bloczek to "zatrzymaj ten skrypt".

Uwzględnij skracanie ułamków. Te ułamki są sobie równe: $\frac{1}{2}=\frac{22}{44}$ , ale to nie znaczy, że wartości ich liczników oraz mianowników są takie same.

Aby sprawdzić poprawność odpowiedzi, nie wystarczy samo porównanie wartości licznika i mianownika ułamka z odpowiedziami użytkownika. Trzeba wziąć pod uwagę, że dany ułamek może być przedstawiony na kilka różnych sposobów, np. ułamki: $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{4}$, $\frac{22}{44}$. Rozwiązaniem, może być porównanie wartości ułamków np. ułamek $\frac{1}{2}$ ma wartość 0.5 oraz ułamek $\frac{22}{44}$ również ma wartość 0.5.

Należy przedstawić odpowiedź użytkownika i wylosowany ułamek w ten sam sposób.

RGYgA9SzTqqEw

Ilustracja przedstawiająca przykładową wylosowaną figurę. Na ekranie znajdują się 44 kwadraty. Narysowane w 4 rzędach, w każdym rzędzie po 11 kwadratów. Dwa górne rzędy są wyróżnione kolorem, dwa dolne są bez koloru. Na dole ekranu znajduje się duszek, który zadaje pytanie "Jaka część figury jest zamalowana?".

Przygotowując prezentację wyselekcjonuj najważniejsze informacje:

• Krótki życiorys

  • Pochodzenie

  • Wiek w jakim żył

  • Ważne wydarzenia z życia

• Algorytm wyznaczania NWD

Przykładowy plan prezentacji:

• Slajd tytułowy

• Euklides - wstęp

• Euklides - pochodzenie (najczęściej przyjmuje się, że pochodził z Grecji), wiek w jakim żył (IV i III wiek p.n.e., przypuszcza się, że urodził się koło 365 r. p.n.e., a zmarł około 270 r. p.n.e.)

• Euklides - ważne wydarzenia z życia (pobierał nauki w Akademii Platońskiej w Atenach; większość życia spędził w Aleksandrii, gdzie nauczał we własnej szkole matematyki; prawdopodobnie był zwierzchnikiem Biblioteki Aleksandryjskiej; napisał wiele prac związanych z matematyką, w tym „Elementy”, jedno z najważniejszych i najczęściej drukowanych dzieł matematycznych w historii)

• (opcjonalne) Euklides - ciekawostki

• Algorytm wyznaczania NWD - wstęp

• Algorytm Euklidesa z odejmowaniem

• Algorytm Euklidesa z dzieleniem

• Bibliografia i przypisy

• Slajd końcowy

Prezentacja powinna zawierać podstawowe informacje o samym matematyku (skąd jest, w jakim wieku żył, najważniejsze wydarzenia w jego życiu), jego dziele (kiedy powstało i co obejmuje swoimi zagadnieniami) oraz algorytmie, który pozwala na wyznaczanie największego wspólnego dzielnika (sposoby implementacji algorytmu oraz jego zastosowania w życiu codziennym).

Dokładnie prześledź przykład działania algorytmu znajdujący się nad ćwiczeniem.

• Na początku sprawdź, czy podane dwie liczby są sobie równe. Jeśli tak, to ich największym wspólnym dzielnikiem będzie dowolna z tych liczb.

• Zauważ, że w algorytmie Euklidesa z zastosowaniem operacji odejmowania, operację tą wykonujemy zawsze w kolumnie po stronie większej liczby. Musimy więc w każdym kroku porównywać wartości dwóch liczb, a większa liczba zostaje zastąpiona wynikiem operacji odejmowania.

• Zawsze odejmujemy liczbę mniejszą od większej.

Specyfikacja problemu:

Dane: $a$ i $b$ – liczby całkowite dodatnie.

Wynik: $nwd$ – największy wspólny dzielnik liczb $a$ i $b$.

1. Powtarzaj aż $a=b$.
   1.1. Jeżeli $a>b$ to:
    ⠀ 1.1.1. Przypisz $a$ wartość różnicy $a-b$,
   w przeciwnym przypadku:
    ⠀ 1.1.2. Przypisz $b$ wartość różnicy $b-a$.

2. Przypisz $nwd$ wartość $a$.

Dokładnie prześledź przykłady działania algorytmu znajdujące się nad ćwiczeniem.

Sposób 1 - dwie zmienne:

• Warunkiem końca algorytmu jest, że jedna z wartości musi osiągnąć wartość 0.

• Najpierw należy porównać dwie liczby, większą z nich należy zastąpić resztą z dzielenia liczby a przez liczbę b. Największym wspólnym dzielnikiem będzie wówczas suma dwóch zmiennych.

Sposób 2 - zmienna pomocnicza:

• Warunkiem końca algorytmu jest, że b musi osiągnąć wartość 0.

• Pomocniczą zmienną w drugim sposobie jest reszta, której należy przypisać wynik reszty z dzielenia liczby a przez liczbę b. Wówczas większa wartość będzie przyjmować wartość mniejszej, a mniejsza wartość reszty.

• Zauważ, że nie trzeba porównywać tutaj obu liczb, gdyż w przypadku podania liczby b, większej od a - wykonamy tylko jedną dodatkową iterację pętli.

Specyfikacja problemu:

Dane: $a$ i $b$ – liczby całkowite dodatnie.

Wynik: $nwd$ – największy wspólny dzielnik liczb $a$ i $b$.

1. Powtarzaj, aż $a=0$ lub $b=0$:
   1.1. Jeżeli $a>b$ to:
    ⠀ 1.1.1. Przypisz a wartość $a \mathrm{mod} b$.
   w przeciwnym przypadku:
    ⠀ 1.1.2. Przypisz $b$ wartość $b \mathrm{mod} a$.

2. Przypisz $nwd$ wartość $a+b$.

Wprowadzając pomocniczą zmienną można zapisać algorytm trochę prościej, bez użycia instrukcji warunkowej.

1. Powtarzaj aż $b=0$.
   1.1. Przypisz zmiennej $reszta$ wartość $a \mathrm{mod} b$.
   1.2. Przypisz $a$ wartość $b$.
   1.3. Przypisz $b$ wartość $reszta$.

2. Przypisz $nwd$ wartość $a$.

Prześledź działanie obu algorytmów krok po kroku dla przykładowych liczb i spróbuj wyciągnąć wnioski.

Efektywniejszym algorytmem znajdowania największego wspólnego dzielnika, będzie algorytm wykorzystujący operację reszty z dzielenia. Wykona on mniej operacji, ponieważ wielokrotne odejmowanie tej samej liczby zostanie zastąpione operacją reszty z dzielenia. Dzięki operacji reszty z dzielenia odejmiemy wszystkie wielokrotności mniejszej liczby naraz. Korzystając z operacji obliczania reszty z dzielenia, wielokrotne operacje odejmowania zostaną wykonane w jednej instrukcji.