Zadania

A

Ćwiczenie 1

Zaokrąglenie liczby $\sqrt{23} = 4,79583152 \dots$ do drugiego miejsca po przecinku jest równe

RhPwjgX6X2870

Trwa wczytywanie danych...

$4,79$
$4,8 0$
$4,795$
$4,7$

A

Ćwiczenie 2

Liczbę $\frac{25}{14} = 1,7 (857142)$ zaokrąglono do dwunastego miejsca po przecinku. Wskaż ostatnią cyfrę otrzymanego zaokrąglenia.

RSzxY6s0ZMKkC

Trwa wczytywanie danych...

$2$
$4$
$1$
$6$

A

Ćwiczenie 3

Przyjmujemy, że pole kwadratu o boku długości $5,62 cm$ jest równe $32 c m^{2}$ . Błąd bezwzględny tego przybliżenia jest równy

REcK5LmyBwLhK

Trwa wczytywanie danych...

$0,5844 c m^{2}$
$0,3844 c m^{2}$
$0,0844 c m^{2}$
$0,4156 c m^{2}$

A

Ćwiczenie 4

Mount Everest, najwyższy szczyt świata ma wysokość $8848 m n . p . m$ . Jeśli przyjmiemy, że Mount Everest ma wysokość $8,5 km n . p . m$ , to błąd względny przybliżenia jest

RfMX1pSChZEij

Trwa wczytywanie danych...

mniejszy od $0,04 %$
większy od $4 %$
większy od $0,4 %$ , ale mniejszy od $4 %$
większy od $0,04 %$ , ale mniejszy od $0,4 %$

A

Ćwiczenie 5

Liczba $x = \frac{38}{\sqrt{3} - 1}$ spełnia nierówność

RNReZ6yXo9LCW

Trwa wczytywanie danych...

$51 < x < 52$
$52 < x < 53$
$53 < x < 54$
$54 < x < 55$

A

Ćwiczenie 6

Zaokrąglij liczbę do dwóch miejsc po przecinku.

$234,5622$
$32,779$
$23,499$
$6,9888$

$234,56$
$32,78$
$23,50$
$6,99$

A

Ćwiczenie 7

Zaokrąglij liczbę $35768914$ do podanego rzędu wielkości.

setek
tysięcy
milionów

$35 768 900$
$35 769 000$
$36 000 000$

A

Ćwiczenie 8

Podaj przybliżenie liczby z nadmiarem, z dokładnością do $0,0001$ .

$\frac{4}{13}$
$\frac{16}{17}$
$\frac{7}{19}$
$\frac{\sqrt{5}}{15}$
$\frac{2 \sqrt{11}}{7}$

$0,3077$
$0,9412$
$0,3685$
$0,1491$
$0,9477$

A

Ćwiczenie 9

Oblicz.

Jakim procentem doby jest $1$ godzina?
Jakim procentem godziny jest $17$ minut?
Jakim procentem godziny jest $15$ minut i $50$ sekund?

Wynik zaokrąglij do drugiego miejsca po przecinku.

$4,17 %$
$28,33 %$
$26,39 %$

A

Ćwiczenie 10

W hurtowni cena netto $1 l$ lakieru jest równa $38,70 zł$ . Na pomalowanie podłogi w szkolnej sali gimnastycznej potrzeba $26 l$ lakieru. Do ceny netto lakieru doliczone jest $23 %$ podatku VAT. Ile trzeba zapłacić za $26$ litrów lakieru w tej hurtowni?

$1237,6 zł$

A

Ćwiczenie 11

W teleturnieju bierze udział dwóch zawodników. Pytanie w eliminacjach brzmi:
”Jaką wysokość ma najwyższy budynek świata Burj Khalifa w Dubaju? Możesz pomylić się nie więcej niż o $0,5 %$ ”
Pierwszy zawodnik podał wysokość $823 m$ , a drugi $831 m$ . Który z zawodników zmieścił się w granicach dopuszczalnego błędu, jeśli rzeczywista wysokość tego budynku to $828 m$ ?

Błąd pierwszego zawodnika to około $0,6 %$ , a drugiego - $0,36 %$ . Prawidłowo odpowiedział drugi zawodnik.

A

Ćwiczenie 12

Produkowane w Polsce zapałki mają długość około $43 mm$ i grubość od $1 mm$ do $1,5 mm$ .Pakowane są najczęściej w pudełka od $38$ do $42$ sztuk ( w zależności od producenta). Standardowe pudełko zawiera $40$ sztuk zapałek. Na podstawie powyższych informacji oblicz, jaki jest dopuszczalny błąd względny liczby zapałek w pudełku, w zależności od producenta.

Błąd względny wynosi $5 %$ .

B

Ćwiczenie 13

Wykaż, że liczba $t = \frac{4}{3 - \sqrt{5}}$ spełnia nierówność podwójną $5 < t < 6$ .

Zauważmy, że $t = \frac{4}{3 - \sqrt{5}} = 3 + \sqrt{5}$ .
Mamy

\sqrt{5} = 2,23606797749979 \dots

Zatem prawdziwa jest nierówność

2,23 < \sqrt{5} < 2,24 .

Do wszystkich stron dodamy liczbę $3$ , zatem

2,23 + 3 < \sqrt{5} + 3 < 2,24 + 3

5,23 < \sqrt{5} + 3 < 5,24 .

Liczba $t = 3 + \sqrt{5}$ spełnia nierówność $5 < t < 6$ .

A

Ćwiczenie 14

Wypisz wszystkie liczby całkowite spełniające układ nierówności $\frac{1}{2 + \sqrt{3}} < x < \frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ .

$1, 2, 3$

A

Ćwiczenie 15

Określ przybliżenie liczby $194,41$ , które należy podać, aby popełniony błąd względny był równy

$3 %$
$0,9 %$
mniej niż $0,5 %$

mogą być dwa przybliżenia: około $200,24$ lub około $188,58$
mogą być dwa przybliżenia: około $196,16$ lub około $192,66$
jako przybliżenia należy podać dowolną liczbę z przedziału $〈193,44; 195,38〉$

C

Ćwiczenie 16

Przybliżenie liczby $π$ z dowolną dokładnością możemy uzyskać, wykorzystując wzór

π = \sqrt{6 \cdot (\frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \dots)} .

Każde takie przybliżenie z niedomiarem jest tym dokładniejsze, im więcej weźmiemy początkowych składników sumy $\frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \dots$ występującej w tym wzorze (jest to suma odwrotności kwadratów kolejnych liczb całkowitych dodatnich).

Wykorzystaj tylko cztery początkowe składniki sumy $\frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \dots$ , oblicz za pomocą podanego wzoru przybliżenie liczby $π$ . Sprawdź, czy błąd bezwzględny tego przybliżenia jest mniejszy od $0,1$ .
Ile co najmniej początkowych składników sumy należy dodać, aby otrzymać przybliżenie większe od $3$ ?

Do rozwiązania zadania wykorzystaj kalkulator.

Błąd bezwzględny otrzymanego przybliżenia jest większy od $0,1$ .
Należy dodać co najmniej $7$ składników.

Szukane przybliżenie jest równe

\sqrt{6 \cdot (\frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}})} = \sqrt{6 \cdot (1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16})} = \sqrt{\frac{205}{24}} = 2,9226 \dots

Liczba $π$ jest większa od $3,1$ , więc błąd bezwzględny otrzymanego przybliżenia jest większy od $0,1$ .

Gdy dodamy tylko sześć składników, to otrzymamy przybliżenie równe

\sqrt{6 \cdot (\frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}} + \frac{1}{5^{2}} + \frac{1}{6^{2}})} = \sqrt{6 \cdot (1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \frac{1}{25} + \frac{1}{36})} = \sqrt{\frac{5369}{600}} = 2,9633 \dots,

gdy natomiast dodamy siedem składników, to otrzymamy

\sqrt{6 \cdot (\frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}} + \frac{1}{5^{2}} + \frac{1}{6^{2}} + \frac{1}{7^{2}})} = \sqrt{6 \cdot (1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \frac{1}{25} + \frac{1}{36} + \frac{1}{49})} = \sqrt{\frac{266681}{29400}} = 3,0117 \dots

Błąd bezwzględny, błąd względny

Przystawanie trójkątów