Scenariusz zajęć realizowanych zgodnie z metodologią STEM w oparciu o zasoby Zintegrowanej Platformy Edukacyjnej, opracowany w ramach rządowego programu wspierania organów prowadzących szkoły i placówki w rozwijaniu umiejętności cyfrowych dzieci i młodzieży na lata 2025‑2029 – „Cyfrowy Uczeń” (Dz.U.2025.1254)

Imię i nazwisko autora:

Agnieszka Chomicka‑Bosy
Karolina Żelazowska‑Byczkowska

Przedmiot wiodący:

• matematyka

Filary metodologii STEM realizowane w ramach zajęć:

(T) technologie

• informatyka

(E) inżynieria

(M) matematyka

Etap edukacyjny:

III etap - szkoła ponadpodstawowa

• liceum ogólnokształcące

• technikum

Pracownia STEM wspierana przez scenariusz:

• P1: Projektowanie i prototypowanie

• P2: Konstruowanie i programowanie robotów

Czas potrzebny na realizację zajęć:

• 135 minut (3 godziny lekcyjne)

Sugerowany sposób organizacji czasu:

• zajęcia realizowane w całości w sposób ciągły

Krótki opis zajęć

Zajęcia dotyczą modelowania mostów z wykorzystaniem matematyki dyskretnej, konstrukcji inżynieryjnych i technologii cyfrowych. Uczniowie analizują problem mostów królewieckich, tworzą grafy, budują prototypy mostów, prowadzą testy obciążeniowe i dokumentują wyniki. Praca przebiega w zespołach, zgodnie z metodą problemową, z użyciem narzędzi cyfrowych i prostych materiałów konstrukcyjnych. Celem lekcji jest rozwijanie myślenia matematycznego, umiejętności analizy danych, projektowania oraz argumentacji. Na koniec uczniowie prezentują modele, interpretują wyniki i formułują wnioski dotyczące stabilności konstrukcji oraz skuteczności zastosowanych rozwiązań.

Tytuły i odnośniki do e‑materiałów z ZPE, w oparciu o które przygotowane są zajęcia

• INFORMATYKA Zagadnienie mostów królewieckich

• INFORMATYKA Stopień grafu, stopień wierzchołka, grafy spójne – implementacja w języku C++

• INFORMATYKA Stopień grafu, stopień wierzchołka, grafy spójne – implementacja w języku Java

• INFORMATYKA Stopień grafu, stopień wierzchołka, grafy spójne – implementacja w języku Python

• MATEMATYKA Wielokąty - rodzaje

• FIZYKA Cechy ruchu harmonicznego

Cel ogólny zajęć:

Rozwijanie umiejętności matematycznych poprzez analizę rzeczywistych problemów modelowanych za pomocą grafów, w szczególności poprzez badanie własności ścieżek eulerowskich, projektowanie i ocenę mostów oraz konstruowanie własnych rozwiązań inżynieryjnych. Uczniowie uczą się interpretować dane, budować modele, formułować wnioski i podejmować decyzje projektowe, wykorzystując metody matematyki dyskretnej, elementy inżynierii oraz modelowanie inżynieryjne w praktyce. Zajęcia rozwijają rozumowanie, współpracę, kreatywność, umiejętność rozwiązywania problemów i świadomego planowania konstrukcji. Uczniowie rozwiązują otwarty problem projektowy dotyczący konstruowania i testowania mostów, wykorzystując matematykę jako narzędzie modelowania i analizy.

Cele operacyjne w sferze kognitywnej zgodnie ze zrewidowaną taksonomią Blooma

Z zakresu pamiętania informacji
(przywoływanie istotnych informacji).

Uczeń:

• przyporządkowuje obiekty rzeczywiste (wyspy, mosty) do elementów grafu: wierzchołków i krawędzi

• odtwarza warunki istnienia ścieżki i cyklu Eulera na przykładzie mostów królewieckich

• wylicza podstawowe wielkości używane przy testowaniu modeli mostów (siła, masa, obciążenie, długość przęsła)

• charakteryzuje funkcje robota lub środowiska programistycznego wykorzystywanego do sterowania przejazdem.

Z zakresu rozumienia informacji
(wyjaśnienie istotnych informacji).

Uczeń:

• wyjaśnia jak przekształcić sieć mostów w graf oraz interpretuje stopnie wierzchołków i ich konsekwencje dla przechodzenia wszystkich krawędzi

• interpretuje różne układy mostów (oryginalne i zmodyfikowane), oceniając, czy możliwe jest przejście każdą ścieżką tylko raz

• opisuje słownie mechanizmy rozkładu obciążenia w modelu mostu oraz znaczenie podpór i elementów usztywniających

• wyjaśnia, jak pomiar obciążenia oraz sposób jego dokładania wpływa na wynik eksperymentu

• interpretuje instrukcje ruchu robota (procedury sterowania, decyzje warunkowe), wyjaśniając, jak algorytm odpowiada strukturze grafu.

Z zakresu zastosowania informacji
(rozwiązywanie problemów o zamkniętej strukturze, o jednoznacznym rozwiązaniu).

Uczeń:

• stosuje Warunek Eulera do grafów mostów, aby ustalić, czy przejście każdej krawędzi tylko raz jest możliwe, i wskazuje poprawną trasę, jeśli rozwiązanie istnieje

• rozwiązuje zadania dotyczące modyfikacji stopni wierzchołków (np. dodanie lub usunięcie mostu), aby zapewnić możliwość przejścia eulerowskiego, sprawdzając poprawność każdego wariantu matematycznie

• oblicza proste parametry konstrukcyjne modeli mostów (np. długości, proporcje, liczbę elementów, dopuszczalne obciążenia), stosując wzory matematyczne lub szacowania

• wykorzystuje podstawowe prawa mechaniki (masa, siła, przeciążenie, moment obciążenia) do jednoznacznego określenia maksymalnego obciążenia mostu, analizując punkty krytyczne konstrukcji

• tworzy algorytm sterujący robotem do przejazdu wszystkich mostów w określonej kolejności oraz testuje poprawność jego działania w przewidzianej konfiguracji.

Z zakresu analizowania, oceniania i tworzenia informacji
(rozwiązywanie problemów o otwartej strukturze, tworzenie własnych rozwiązań zadanych problemów, ocena dotycząca wartości idei lub materiałów).

Uczeń:

• analizuje strukturę układu mostów (oryginalnych i zaprojektowanych przez grupy), przekształcając je w grafy, oraz bada wpływ modyfikacji stopni wierzchołków na możliwość przejścia każdej krawędzi tylko jeden raz

• ocenia poprawność zaprojektowanych mostów i ich odwzorowania matematycznego, stosując kryteria opracowane wspólnie z nauczycielem (m.in. konstrukcja z dostępnych materiałów, minimalna liczba zmian, jednorazowe przejście każdą ścieżką, spełnienie warunku nośności)

• projektuje własny układ mostów lub modyfikuje istniejący, tak aby umożliwić przejazd eulerowski przy jak najmniejszej liczbie ingerencji, oraz uzasadnia matematycznie poprawność swojego rozwiązania

• tworzy model mostu (fizyczny prototyp), dobiera materiały, planuje sposób wykonania, testuje jego nośność, a następnie formułuje wnioski dotyczące stabilności oraz czynników wpływających na przeciążenia i awarie

• analizuje wyniki eksperymentu fizycznego, identyfikując przyczyny różnic w nośności modeli, wskazując błędy konstrukcyjne i proponując modyfikacje zwiększające wytrzymałość i bezpieczeństwo

• programuje algorytm przejazdu robota, wykorzystując strukturę grafu mostów stworzoną przez grupy, a następnie ocenia skuteczność rozwiązania i iteracyjnie je ulepsza (np. wprowadzając lepszą strategię wyboru ścieżek lub obsługę wyjątków)

• porównuje efektywność różnych rozwiązań problemu mostów, zarówno matematycznych, fizycznych, jak i informatycznych, formułuje kryteria oceny, uzasadnia wybór optymalnych rozwiązań i argumentuje swoją opinię na forum zespołu.

Sposób realizacji zaplanowanych celów przez nauczyciela

Nauczyciel realizuje cele zajęć poprzez pracę w losowych zespołach, co umożliwia współpracę, wzajemne uczenie się i dzielenie się strategiami rozwiązywania problemów. Stosuje metodę problemowego uczenia się (PBL), w której nie przekazuje gotowych rozwiązań, lecz formułuje wyzwania matematyczno‑inżynieryjne – analizę grafów, projektowanie układów mostów oraz ich testowanie. Kształcenie myślenia komputacyjnego odbywa się poprzez dekompozycję zadania, iteracyjne projektowanie, obserwację wyników, analizę danych i korzystanie z algorytmów sterujących.
Technologie informatyczne są wykorzystywane do wyszukiwania informacji, tworzenia tabel danych, analizy wiarygodności źródeł i wizualizacji wyników (np. arkusz kalkulacyjny, narzędzia do modelowania). Eksperymenty konstrukcyjne i testy obciążeniowe umożliwiają zastosowanie matematyki i fizyki w praktyce oraz rozwijanie umiejętności interpretacji danych pomiarowych, porównań, uogólnień i formułowania wniosków.
W odniesieniu do taksonomii Blooma cele związane z pamięcią i rozumieniem realizowane są podczas pracy z materiałami ZPE, interpretacji grafów i identyfikacji własności konstrukcji; cele zastosowania – podczas obliczeń, pomiarów i projektowania mostu; cele wyższego rzędu – podczas iteracyjnego ulepszania konstrukcji, oceny jej stabilności i argumentacji matematycznej. Całość realizowana jest w formie aktywnej, dialogowej i refleksyjnej, przy minimalnym instruktażu nauczyciela.

Realizowane punkty podstawy programowej kształcenia ogólnego dla danego przedmiotu

Przygotowanie nauczyciela

Nauczyciel zapoznaje się z materiałami Zintegrowanej Platformy Edukacyjnej dotyczącymi grafów, mostów królewieckich i podstaw analizy danych, wybiera fragmenty do pracy uczniowskiej oraz przygotowuje pytania wspierające rozumowanie, analizę błędów i planowanie konstrukcji. Przed zajęciami warto sprawdzić dostępność sprzętu w pracowni STEM, w tym monitor interaktywny, laptopy lub tablety z dostępem do ZPE, zestawy materiałów do projektowania i budowy mostów (np. patyczki, taśmy, karton, długopisy 3D), a w wariancie rozszerzonym również prostego robota lub wagę do pomiarów. Organizacyjnie należy zaplanować przestrzeń na pracę w grupach, pionowe tablice do rozwiązywania problemów i miejsce do testowania konstrukcji. Nauczyciel przygotowuje także zasady pracy zespołowej, harmonogram iteracji i sposób dokumentowania danych, aby uczniowie mogli bezpiecznie eksperymentować, porównywać wyniki i prowadzić analizę matematyczną.

Przygotowanie merytoryczne nauczyciela:

• zapoznanie się z materiałami Zintegrowanej Platformy Edukacyjnej oraz załącznikami do scenariusza;

• przygotować pytania wspierające uczniów w analizie danych, ocenie konstrukcji i formułowaniu wniosków.

Przygotowanie organizacyjne:

• zaplanowanie rozmieszczenia stanowisk pracy, tak aby grupy mogły bezpiecznie testować modele skonstruowanych mostów (m.in. dostęp do materiałów: patyczki, taśmy, kartony oraz przestrzeń na budowę modeli).

Przygotowanie techniczno‑materiałowe

Wyposażenie pracowni STEM:

• monitor interaktywny,

• laptopy lub tablety dla uczniów z dostępem do materiałów ZPE,

• zestaw długopisów 3D do pracy z wydrukami 3D

• materiały do budowy mostów

Wariant rozszerzony (przygotowanie zależne od pracowni):

• robot

Co zrobić, aby zajęcia były dostępne dla wszystkich uczniów?

Zespoły należy konstruować tak, aby uczniowie o różnych możliwościach mogli wspierać się nawzajem, a role w grupach były jasno określone (np. projektant, konstruktor, mierzący, dokumentujący). Uczniowie ze SPE mogą wykonywać zadania dostosowane do ich tempa, np. prostsze warianty pomiarów, obserwacje jakościowe zamiast liczbowych lub pracę przy komputerze zamiast manualnej. Instrukcje warto przekazywać równocześnie ustnie i w formie graficznej, a modele mostów można pokazać na filmie lub zdjęciu, aby ułatwić zrozumienie zadania. Dobrą praktyką jest zapewnienie cichego stanowiska pracy, krótkich komunikatów i podziału działań na małe etapy — szczególnie dla uczniów z ADHD, autyzmem lub trudnościami w skupieniu uwagi. Uczniowie z niepełnosprawnością ruchową mogą korzystać z większych elementów i ergonomicznych narzędzi, a stanowisko testowe należy ustawić stabilnie i bezpiecznie. W razie potrzeby pomiary można wykonać wspólnie z nauczycielem lub asystentem. Uczniowie uzdolnieni mogą dostać zadania rozszerzające, takie jak ulepszanie konstrukcji, modelowanie danych czy projektowanie alternatywnych rozwiązań. Dzięki temu każdy uczestniczy w pracy zespołowej i osiąga cele matematyczne, niezależnie od ograniczeń.

Przygotowanie uczniów

Przygotowanie domowe nie wymaga specjalistycznej wiedzy — jego celem jest wzbudzenie ciekawości, oswojenie z pojęciami i wprowadzenie kontekstu matematyczno‑inżynieryjnego, tak aby podczas zajęć uczniowie mogli skoncentrować się na konstruowaniu, testowaniu i analizowaniu.
Uczniowie mogą przynieść na zajęcia materiały upcyclingowe do budowy modeli mostów.

Kluczowe zasady bezpieczeństwa podczas zajęć

Podczas pracy z materiałami konstrukcyjnymi mogą wystąpić skaleczenia lub zadrapania, dlatego uczniowie powinni korzystać z narzędzi bez ostrych krawędzi i pod nadzorem nauczyciela. Modele mostów należy budować na stabilnych stanowiskach, aby uniknąć upadku konstrukcji i kolizji między uczniami. W czasie testowania obciążenia istnieje ryzyko spadania elementów, dlatego uczniowie obserwują eksperyment z bezpiecznej odległości i nie dotykają modelu w trakcie jego obciążania. Jeśli wykorzystywane są urządzenia elektroniczne (np. robot lub tablet), stanowiska z elektroniką powinny być oddzielone od stanowisk konstrukcyjnych, aby uniknąć uszkodzenia sprzętu. Przed rozpoczęciem pracy nauczyciel ustala jasne zasady: poruszanie się w strefach eksperymentu, sygnalizowanie awarii, zatrzymanie testu w razie niepewności. Ważne jest również regularne sprzątanie przestrzeni, aby zapobiec poślizgnięciom i bałaganowi. Wszystkie działania uczniów powinny być prowadzone w grupie i komunikowane na bieżąco, co zwiększa kontrolę nad bezpieczeństwem i komfortem pracy.

Faza wprowadzająca

Faza realizacyjna

Faza podsumowująca

Propozycja działań dla uczniów, które mają na celu integrację i utrwalenie zdobytej wiedzy

Portfolio eksperymentalne – uczniowie aktualizują dokumentację z zajęć (zdjęcia kolejnych prototypów, tabele pomiarów, wnioski, refleksje). Portfolio może mieć formę cyfrową lub papierową.

Zadania matematyczne oparte na rzeczywistych danych
Uczniowie wybierają jeden z aspektów konstrukcji i tworzą do niego własne zadanie matematyczne, np.: stabilność w zależności od długości przęsła, zużycie materiału vs. nośność, minimalny koszt mostu dla określonego obciążenia, średnia wytrzymałość w testach obciążeniowych. Następnie wymieniają się zadaniami i rozwiązują zadania innych zespołów.

Szkolny hackathon – „Ulepsz swój most”
Uczniowie wracają do swojej konstrukcji i proponują: optymalizację materiałową (mniej materiału – ta sama wytrzymałość), optymalizację geometryczną, alternatywną strukturę (np. kratownica vs. łuk), zastosowanie nowego projektu do przejazdu robota. Efektem może być porównanie „przed” i „po”, wraz z krótką analizą matematyczną i komentarzem inżynieryjnym.

Symulacja online
Most jako obiekt matematyczny. Uczniowie odtwarzają lub projektują model mostu w GeoGebrze lub w programie Tinkercad, np.: trójkąt jako moduł nośny, łuk paraboliczny, kratownica statyczna. Następnie porównują stabilność modeli.

Propozycja ewaluacji lekcji i stopnia realizacji zaplanowanych celów edukacyjnych

Ewaluacja lekcji – pytania dla uczniów, np.:

• Jak matematyczne ujęcie rozmieszczenia sieci mostów (grafy, wierzchołki, krawędzie) pomaga w projektowaniu dobrej logistyki?

• Jak budowanie mostu pomogło mi lepiej zrozumieć zależność między geometrią a wytrzymałością konstrukcji?

• Które strategie projektowe okazały się skuteczne? Skąd o tym wiem?

• Które hipotezy dotyczące stabilności mostu potwierdziły się po przejeździe robota, a które należało odrzucić?

• Jak analiza danych (np. zużycie materiału, koszty, długość przęsła) pomogła mi ocenić jakość konstrukcji?

• W jaki sposób praca zespołowa i porównywanie rozwiązań wpłynęły na postęp mojego myślenia?

• Jakie elementy matematyki, fizyki i informatyki pojawiły się w praktycznym działaniu – i jak je mogę teraz lepiej wyjaśnić niż przed zajęciami?

• Co było dla mnie największym wyzwaniem w projektowaniu i testowaniu mostu – jakie działania pomogły zniwelować nadarzające się problemy  i osiągnąć sukces?

Uczniowie na tej karcie pracy wracają do kluczowych idei z lekcji o mostach, skupiając się na matematyce łamanych i wielokątów. Wykonują ćwiczenia, w których rozpoznają i poprawnie nazywają łamane oraz figury, które łamaną nie są, a następnie porównują wielokąty za pomocą ilorazu izoperymetrycznego. W zadaniach przeprowadzają także proste dowody geometryczne z wykorzystaniem nierówności trójkąta, aby wskazać, które kształty są „korzystniejsze” konstrukcyjnie. Dzięki temu uczniowie widzą, że planimetria pozwala precyzyjnie opisywać i oceniać rzeczywiste konstrukcje, takie jak mosty.

Szczegółowy wykaz elementów e‑materiałów z ZPE wykorzystanych do opracowania scenariusza

Załączniki

Inne niezbędne środki i pomoce dydaktyczne

Zajęcia są realizowane w przestrzeni Pracowni 1. STEM – konstruowanie i prototypowanie robotów, z wykorzystaniem następującego wyposażenia podstawowego:

• Monitor interaktywny o przekątnej ekranu min. 75 cali ze stojakiem, wykorzystywany do:

  • prezentacji multimedialnych,

  • analizy wyników i wykresów,

  • interaktywnej pracy z zasobami cyfrowymi i platformą ZPE.

• Laptopy i tablety, niezbędne do:

  • pracy projektowej,

  • opracowania dokumentacji i arkuszy kalkulacyjnych,

  • wyszukiwania informacji i analizy źródeł,

  • modelowania 2D i 3D (opcjonalnie),

  • programowania robotów (opcjonalnie).